수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 속도와 가속도 만들기

위치를 시각으로 미분하면 속도, 속도를 한 번 더 미분하면 가속도입니다.

$v_1=12t^2-2t-11$, $v_2=4t+7$

$a_1=24t-2$, $a_2=4$

위치 → 속도 → 가속도가 미분으로 이어지는 사슬이라는 점을 먼저 정리해 두면 조건을 어느 식에 적용할지 헷갈리지 않습니다.

점 $Q$ 의 가속도는 시각과 무관하게 항상 $4$ 로 일정하다는 것도 여기서 바로 보여요.

step2. 속도가 같아지는 시각 구하기

조건은 '속도가 같아지는 순간'이므로 $v_1=v_2$ 를 풉니다.

$12t^2-2t-11=4t+7$

$12t^2-6t-18=0$

양변을 $6$ 으로 나누면 $2t^2-t-3=0$ 이고, 인수분해하면 $(2t-3)(t+1)=0$ 이므로 $t={\displaystyle \frac{3}{2}}$ 또는 $t=-1$ 입니다.

'두 점이 만난다'로 잘못 읽어 $x_1=x_2$ 를 풀면 전혀 다른 삼차방정식이 됩니다. 그리고 $t\ge 0$ 이라는 조건이 있으므로 $t=-1$ 은 버려야 해요.

따라서 $t={\displaystyle \frac{3}{2}}$ 입니다.

step3. 가속도의 차 구하기

$t={\displaystyle \frac{3}{2}}$ 를 각각의 가속도에 대입합니다.

$p=24\times {\displaystyle \frac{3}{2}}-2=36-2=34$

$q=4$

따라서 $p-q=34-4=30$ 이고, 정답은 ①입니다.

step1. 미분

$v_1=12t^2-2t-11$, $v_2=4t+7$

$a_1=24t-2$, $a_2=4$

step2. 속도 일치

$12t^2-2t-11=4t+7$

$2t^2-t-3=0$ → $(2t-3)(t+1)=0$

$t={\displaystyle \frac{3}{2}}$   --- $t\ge 0$

step3. 가속도

$p=34$, $q=4$

$p-q=30$

$\therefore ①$