수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 코사인법칙으로 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$ 구하기

삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ 에서 두 변 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=4$, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=5$ 와 그 낀 각의 코사인값을 알고 있으니 코사인법칙을 그대로 쓸 수 있습니다.

${\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2=4^2+5^2-2\times 4\times 5\times {\displaystyle \frac{1}{8}}=16+25-5=36$

$\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=6$

길이는 양수이므로 음의 근은 버립니다.

그림에서 빨간 선분이 코사인법칙으로 구한 BC 입니다.

step2. 외접원의 지름 구하기

사인법칙을 쓰려면 $\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}$ 의 사인값이 필요합니다. $\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}$ 는 삼각형의 내각이라 $\sin (\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C})>0$ 이므로

$\sin (\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C})=\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{8}}\right)}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{63}{64}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{7}}{8}}$

$\sqrt{63}$ 을 그대로 두면 이후 계산이 복잡해집니다. $63=9\times 7$ 로 쪼개 $3\sqrt{7}$ 까지 정리해 두세요.

이제 사인법칙에서

$2R={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}{\sin (\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C})}}={\displaystyle \frac{6}{\frac{3\sqrt{7}}{8}}}={\displaystyle \frac{6\times 8}{3\sqrt{7}}}={\displaystyle \frac{16}{\sqrt{7}}}$

입니다.

그림의 초록 점선이 외접원의 반지름 OB 예요.

step3. 같은 원을 이용해 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}$ 구하기

점 $D$ 는 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ 의 외접원 위에 있으므로, 삼각형 $\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ 의 외접원도 바로 그 원입니다. 즉 두 삼각형이 같은 $R$ 을 공유해요.

한 원 위의 네 점이 만드는 어떤 삼각형에서도 사인법칙의 $2R$ 은 동일하므로, 이 값이 서로 다른 삼각형을 잇는 통로가 됩니다.

삼각형 $\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ 에서 변 $\mathrm{B}\mathrm{D}$ 의 대각은 $\angle \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$ 이므로

$\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}=2R\sin (\angle \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D})={\displaystyle \frac{16}{\sqrt{7}}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{14}}{\sqrt{7}}}=4\sqrt{2}$

따라서 정답은 ④입니다.

$그림의파란선분이구하려는BD이고,점C의작은호가\angle BCD입니다.$

step1. 코사인법칙

${\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2=16+25-2·4·5·{\displaystyle \frac{1}{8}}=36$ → $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=6$

step2. 외접원

$\sin (\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C})={\displaystyle \frac{3\sqrt{7}}{8}}$

$2R={\displaystyle \frac{6}{3\sqrt{7}/8}}={\displaystyle \frac{16}{\sqrt{7}}}$   --- 사인법칙

step3. $\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}$

$\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}=2R\sin (\angle \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D})={\displaystyle \frac{16}{\sqrt{7}}}·{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}}=4\sqrt{2}$   --- $D$ 도 같은 원 위

$\therefore ④$