수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 항별로 적분하기

$\int x^{n}dx={\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}$ 을 각 항에 적용합니다.

$2x^3\to 2\times {\displaystyle \frac{x^4}{4}}={\displaystyle \frac{x^4}{2}}$

$6x^2\to 6\times {\displaystyle \frac{x^3}{3}}=2x^3$

$-x\to -{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$

지수를 $1$ 올리고, 올린 그 수로 나눈 뒤, 원래 계수를 곱한다는 세 동작을 순서대로 지키면 됩니다.

따라서 $F(x)={\displaystyle \frac{x^4}{2}}+2x^3-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ 로 둘 수 있어요.

$-x$ 의 부호를 빠뜨려 $+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ 로 적으면 답이 $26$ 이 되어 선지 ③에 그대로 걸립니다.

step2. 위끝과 아래끝 대입하기

미적분의 기본정리에 따라 ${\int }_0^{2}f(x)dx=F(2)-F(0)$ 입니다.

$F(2)={\displaystyle \frac{2^4}{2}}+2\times 2^3-{\displaystyle \frac{2^2}{2}}=8+16-2=22$

$F(0)=0$

이므로 정적분의 값은 $22-0=22$ 입니다.

따라서 정답은 ①입니다.

step1. 부정적분

$\int (2x^3+6x^2-x)dx={\displaystyle \frac{x^4}{2}}+2x^3-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$

step2. 대입

${[{\displaystyle \frac{x^4}{2}}+2x^3-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}]}_0^2=8+16-2=22$

$\therefore ①$