수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $A$, $B$ 의 좌표 구하기

두 곡선의 교점에서 $\sin x=-k\cos x$ 이므로 $\tan x=-k$ 입니다. $k>1$ 이라 $\tan$ 값이 음수이고, $A$ 는 $y>0$ 인 제1사분면 위의 점이므로 ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<a<\pi$ 예요.

$\tan$ 의 주기가 $\pi$ 이므로 다음 해는 $x=a+\pi$ 이고, 그때 $y=\sin (a+\pi )=-\sin a<0$ 이라 제4사분면 위의 점이 됩니다.

$A(a,\sin a)$, $B(a+\pi ,-\sin a)$

따라서 (가)에 알맞은 식은 $p(a)=a+\pi$ 입니다.

그림의 파란 세로 점선이 두 점 A, B 의 x좌표를 가리킵니다.

step2. $C$, $D$ 의 좌표 구하기

$D$ 는 $y=-\sin a$ 인 가로선과 $y=-k\cos x$ 의 교점 중 $B$ 가 아닌 점입니다. $-k\cos x$ 의 값이 같으려면 $\cos x$ 가 같아야 하므로 $\cos x=\cos (a+\pi )$ 를 풀면 되고, 그 해는

$x=a+\pi$ 또는 $x=2\pi -(a+\pi )=\pi -a$

입니다.

가로선과 코사인 곡선의 두 교점은 $x=\theta$ 와 $x=2\pi -\theta$ 로 짝을 이룬다는 대칭성이 이 단계의 전부예요.

따라서 $D(\pi -a,-\sin a)$ 이고, (나)에 알맞은 식은 $q(a)=\pi -a$ 입니다.

같은 방법으로 $C$ 는 $\cos x=\cos a$ 의 해 중 $x=a$ 가 아닌 $x=2\pi -a$ 이므로 $C(2\pi -a,\sin a)$ 입니다.

$D$ 를 $B$ 와 $x=\pi$ 에 대해 대칭인 점으로 잡으면 안 됩니다. 대칭축은 코사인의 성질에 따라 $x=0$ 과 $x=2\pi$ 쪽이에요.

그림의 초록 세로 점선이 C, D 의 x좌표이고, A·C 와 B·D 가 각각 좌우로 짝을 이룹니다.

step3. 넓이비로 $a$ 결정하기

삼각형 $\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{B}$ 에서 $D$ 와 $B$ 는 $y=-\sin a$ 라는 같은 가로선 위에 있으므로 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}$ 를 밑변으로 삼습니다.

$\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}=(a+\pi )-(\pi -a)=2a$, 높이 $=\sin a-(-\sin a)=2\sin a$

$(△\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{B})={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2a\times 2\sin a=2a\sin a$

삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{D}$ 는 원점을 꼭짓점으로 가지므로 좌표로 바로 계산합니다.

$(△\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{D})={\displaystyle \frac{1}{2}}|a·(-\sin a)-(\pi -a)·\sin a|={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi \sin a$

비가 $14:5$ 이므로

${\displaystyle \frac{2a\sin a}{\frac{\pi }{2}\sin a}}={\displaystyle \frac{14}{5}}$

$\sin a>0$ 이라 약분되어 ${\displaystyle \frac{4a}{\pi }}={\displaystyle \frac{14}{5}}$, 즉 $a={\displaystyle \frac{7\pi }{10}}$ 입니다. 이 값은 ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<a<\pi$ 를 만족하므로 (다)에 알맞은 수는 $\alpha ={\displaystyle \frac{7\pi }{10}}$ 이에요.

그림에서 빨간 삼각형이 CDB, 파란 삼각형이 AOD 예요.

step4. 값 계산하기

$p(a)=a+\pi$, $q(a)=\pi -a$, $\alpha ={\displaystyle \frac{7\pi }{10}}$ 이므로

$p(\alpha )={\displaystyle \frac{7\pi }{10}}+\pi ={\displaystyle \frac{17\pi }{10}}$, $q(\alpha )=\pi -{\displaystyle \frac{7\pi }{10}}={\displaystyle \frac{3\pi }{10}}$

$3\times {\displaystyle \frac{p(\alpha )}{q(\alpha )}}=3\times {\displaystyle \frac{17\pi /10}{3\pi /10}}=3\times {\displaystyle \frac{17}{3}}=17$

따라서 답은 $17$ 입니다.

step1. 교점

$\sin x=-k\cos x$ → $\tan x=-k$, ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<a<\pi$

$A(a,\sin a)$, $B(a+\pi ,-\sin a)$ → (가) $=a+\pi$

step2. $C$, $D$

$\cos x=\cos (a+\pi )$ → $x=a+\pi ,\pi -a$

$D(\pi -a,-\sin a)$ → (나) $=\pi -a$, $C(2\pi -a,\sin a)$

step3. 넓이비

$△\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{B}={\displaystyle \frac{1}{2}}·2a·2\sin a=2a\sin a$

$△\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{D}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sin a$   --- 원점 포함, 좌표로 계산

${\displaystyle \frac{2a}{\pi /2}}={\displaystyle \frac{14}{5}}$ → $a={\displaystyle \frac{7\pi }{10}}$

step4. 계산

$3·{\displaystyle \frac{17\pi /10}{3\pi /10}}=17$

∴ $17$