수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 점화식 분리하기

조건 (나)에서 $(a_{n+1}-a_n+\frac{2}{3}k)(a_{n+1}+k{a}_n)=0$ 이므로,

$a_{n+1}-a_n+\frac{2}{3}k=0$ 또는 $a_{n+1}+k{a}_n=0$ 입니다.

이를 $a_{n+1}$에 대해 정리하면,

$a_{n+1}=a_n-\frac{2}{3}k$ 또는 $a_{n+1}=-k{a}_n$ 이 됩니다.

즉, 다음 항을 구할 때는 이전 항에서 $\frac{2}{3}k$를 빼거나, 이전 항에 $-k$를 곱하는 두 가지 규칙 중 하나를 선택하게 됩니다.

step2. $a_3$까지의 수형도 그리고 조건 확인하기

$a_1=k$ 이고 $k>0$ 입니다.

$a_2$를 구해보면,

1) $a_2=a_1-\frac{2}{3}k=k-\frac{2}{3}k=\frac{1}{3}k$ (양수)

2) $a_2=-k{a}_1=-k^2$ (음수)

조건 (가)에서 $a_2\times a_3<0$ 이어야 하므로, $a_2$와 $a_3$의 부호는 서로 달라야 합니다.

$k>0$이라는 조건을 놓치면 부호를 판별할 수 없으니 항상 염두에 두어야 해요.

- $a_2=\frac{1}{3}k$ (양수)인 경우, $a_3$는 음수여야 합니다.

$a_3=a_2-\frac{2}{3}k=\frac{1}{3}k-\frac{2}{3}k=-\frac{1}{3}k$ (음수, 조건 만족)

$a_3=-k{a}_2=-k(\frac{1}{3}k)=-\frac{1}{3}{k}^2$ (음수, 조건 만족)

- $a_2=-k^2$ (음수)인 경우, $a_3$는 양수여야 합니다.

$a_3=a_2-\frac{2}{3}k=-k^2-\frac{2}{3}k$ (음수, 조건 불만족)

$a_3=-k{a}_2=-k(-k^2)=k^3$ (양수, 조건 만족)

따라서 가능한 $a_3$의 값은 $-\frac{1}{3}k$, $-\frac{1}{3}{k}^2$, $k^3$ 세 가지로 좁혀집니다.

step3. $a_5=0$이 되는 $k$ 찾기

이제 세 가지 경우에 대해 수형도를 계속 그려 $a_5$를 구합니다.

(경우 1) $a_3=-\frac{1}{3}k$ 일 때

- $a_4=-\frac{1}{3}k-\frac{2}{3}k=-k$

- $a_5=-k-\frac{2}{3}k=-\frac{5}{3}k=0⟹k=0$ (양수가 아니므로 탈락)

- $a_5=-k(-k)=k^2=0⟹k=0$ (탈락)

- $a_4=-k(-\frac{1}{3}k)=\frac{1}{3}{k}^2$

- $a_5=\frac{1}{3}{k}^2-\frac{2}{3}k=0⟹\frac{1}{3}k(k-2)=0⟹k=2$ (양수이므로 채택)

- $a_5=-k(\frac{1}{3}{k}^2)=-\frac{1}{3}{k}^3=0⟹k=0$ (탈락)

(경우 2) $a_3=-\frac{1}{3}{k}^2$ 일 때

- $a_4=-\frac{1}{3}{k}^2-\frac{2}{3}k$

- $a_5=-\frac{1}{3}{k}^2-\frac{4}{3}k=0⟹-\frac{1}{3}k(k+4)=0⟹k=-4$ (탈락)

- $a_5=-k(-\frac{1}{3}{k}^2-\frac{2}{3}k)=\frac{1}{3}{k}^3+\frac{2}{3}{k}^2=0⟹\frac{1}{3}{k}^2(k+2)=0⟹k=-2$ (탈락)

- $a_4=-k(-\frac{1}{3}{k}^2)=\frac{1}{3}{k}^3$

- $a_5=\frac{1}{3}{k}^3-\frac{2}{3}k=0⟹\frac{1}{3}k(k^2-2)=0⟹k=\sqrt{2}$ (양수이므로 채택)

- $a_5=-k(\frac{1}{3}{k}^3)=-\frac{1}{3}{k}^4=0⟹k=0$ (탈락)

(경우 3) $a_3=k^3$ 일 때

- $a_4=k^3-\frac{2}{3}k$

- $a_5=k^3-\frac{4}{3}k=0⟹k(k^2-\frac{4}{3})=0⟹k^2=\frac{4}{3}⟹k=\frac{2}{\sqrt{3}}$ (양수이므로 채택)

- $a_5=-k(k^3-\frac{2}{3}k)=-k^4+\frac{2}{3}{k}^2=0⟹-k^2(k^2-\frac{2}{3})=0⟹k^2=\frac{2}{3}⟹k=\sqrt{\frac{2}{3}}$ (양수이므로 채택)

- $a_4=-k(k^3)=-k^4$

- $a_5=-k^4-\frac{2}{3}k=0⟹-k(k^3+\frac{2}{3})=0⟹k^3=-\frac{2}{3}$ (양수가 아니므로 탈락)

- $a_5=-k(-k^4)=k^5=0⟹k=0$ (탈락)

step4. $k^2$의 합 계산하기

조건을 만족하는 양수 $k$는 $2,\sqrt{2},\frac{2}{\sqrt{3}},\sqrt{\frac{2}{3}}$ 입니다.

이들의 제곱인 $k^2$의 값은 각각 $4,2,\frac{4}{3},\frac{2}{3}$ 입니다.

따라서 모든 $k^2$의 값의 합은

$4+2+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=6+\frac{6}{3}=6+2=8$ 입니다.

step1. 점화식 분리

$a_{n+1}=a_n-\frac{2}{3}k$ 또는 $a_{n+1}=-k{a}_n$

step2. $a_3$까지의 수형도 및 조건 확인

$a_1=k$   --- $k>0$

$a_2=\frac{1}{3}k$ 또는 $-k^2$

--- $a_2\times a_3<0$ 이므로 부호가 달라야 함

1) $a_2=\frac{1}{3}k(>0)$ 일 때, $a_3<0$ 이어야 함

$a_3=-\frac{1}{3}k(<0)$   --- O

$a_3=-\frac{1}{3}{k}^2(<0)$   --- O

2) $a_2=-k^2(<0)$ 일 때, $a_3>0$ 이어야 함

$a_3=-k^2-\frac{2}{3}k(<0)$   --- X

$a_3=k^3(>0)$   --- O

step3. $a_5=0$이 되는 $k$ 찾기

1) $a_3=-\frac{1}{3}k$

$a_4=-k⟹a_5=-\frac{5}{3}k$ 또는 $k^2$   --- $k>0$이므로 $a_5\ne 0$

$a_4=\frac{1}{3}{k}^2⟹a_5=\frac{1}{3}{k}^2-\frac{2}{3}k=0⟹k=2$

2) $a_3=-\frac{1}{3}{k}^2$

$a_4=-\frac{1}{3}{k}^2-\frac{2}{3}k⟹a_5=-\frac{1}{3}{k}^2-\frac{4}{3}k$ 또는 $\frac{1}{3}{k}^3+\frac{2}{3}{k}^2$   --- $a_5\ne 0$

$a_4=\frac{1}{3}{k}^3⟹a_5=\frac{1}{3}{k}^3-\frac{2}{3}k=0⟹k^2=2$

3) $a_3=k^3$

$a_4=k^3-\frac{2}{3}k⟹a_5=k^3-\frac{4}{3}k=0⟹k^2=\frac{4}{3}$

또는 $a_5=-k^4+\frac{2}{3}{k}^2=0⟹k^2=\frac{2}{3}$

$a_4=-k^4⟹a_5=-k^4-\frac{2}{3}k$ 또는 $k^5$   --- $a_5\ne 0$

step4. $k^2$의 합 계산

$k^2$의 값은 $4,2,\frac{4}{3},\frac{2}{3}$

$\therefore 4+2+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=8$