수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 위치가 같아지는 시각 $t$ 구하기

두 점 $P,Q$의 위치가 같아지는 순간을 찾아야 하므로 $x_1=x_2$라는 방정식을 세웁니다.

$t^2+t-6=-t^3+7t^2$

모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면,

$t^3-6t^2+t-6=0$ 이 됩니다.

이 3차 방정식을 인수분해해 볼까요? 앞의 두 항과 뒤의 두 항을 각각 묶어보면,

$t^2(t-6)+1(t-6)=0$

$(t^2+1)(t-6)=0$

여기서 $t^2+1=0$을 만족하는 실수는 없으므로, $t-6=0$에서만 실근이 나옵니다. 또한 시간 $t$는 $t\ge 0$이어야 한다는 점을 놓치기 쉽습니다.

따라서 조건을 만족하는 시각은 $t=6$ 입니다.

step2. 가속도 함수 구하기

위치 함수를 시간에 대해 한 번 미분하면 속도, 두 번 미분하면 가속도가 됩니다.

점 $P$의 속도 $v_1$과 가속도 $a_1$을 구해볼게요.

$v_1=\frac{d}{dt}(t^2+t-6)=2t+1$

$a_1=\frac{d}{dt}(2t+1)=2$

마찬가지로 점 $Q$의 속도 $v_2$와 가속도 $a_2$를 구합니다.

$v_2=\frac{d}{dt}(-t^3+7t^2)=-3t^2+14t$

$a_2=\frac{d}{dt}(-3t^2+14t)=-6t+14$

step3. 가속도의 차이 $p-q$ 계산하기

이제 $t=6$일 때의 두 점의 가속도 $p,q$를 구합니다.

점 $P$의 가속도 $p$는 $a_1$에 $t=6$을 대입하면 되는데, $a_1$은 상수함수이므로 $p=2$ 입니다.

점 $Q$의 가속도 $q$는 $a_2$에 $t=6$을 대입하여 구합니다.

$q=-6(6)+14=-36+14=-22$

마지막으로 우리가 구하고자 하는 $p-q$의 값을 계산합니다.

$p-q=2-(-22)=24$

따라서 정답은 24가 됩니다.

step1. 위치가 같아지는 시각 $t$ 구하기

$t^2+t-6=-t^3+7t^2$

$t^3-6t^2+t-6=0$

$t^2(t-6)+(t-6)=0$

$(t^2+1)(t-6)=0$

$t=6$   --- $t\ge 0$이므로

step2. 가속도 함수 구하기

$x_1=t^2+t-6\Rightarrow v_1=2t+1\Rightarrow a_1=2$

$x_2=-t^3+7t^2\Rightarrow v_2=-3t^2+14t\Rightarrow a_2=-6t+14$

step3. 가속도의 차이 $p-q$ 계산하기

$p=a_1(6)=2$

$q=a_2(6)=-6(6)+14=-22$

$p-q=2-(-22)=24$

$\therefore 24$