수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 외접원의 반지름 구하기

가장 먼저, 다루기 쉬운 조건부터 해결해 볼게요. 삼각형 ABC의 외접원의 넓이가 $50\pi$라고 주어졌어요.

외접원의 반지름을 $R$이라고 하면, 원의 넓이 공식에 의해 다음 식이 성립해요.

$\pi R^2=50\pi$

양변을 $\pi$로 나누면 $R^2=50$이 되고, 길이는 양수이므로 $R=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$가 됩니다.

step2. 변의 길이를 미지수로 설정하기

문제에서 $\overline{AB}:\overline{AC}=\sqrt{2}:1$이라는 비율을 주었어요.

비율이 주어졌을 때는 비례상수 $k$ ($k>0$)를 곱해서 실제 길이로 표현하는 것이 좋아요.

$\overline{AB}=\sqrt{2}k$

$\overline{AC}=k$

그리고 마주보는 변인 $\overline{BC}$의 길이는 편의상 $a$라고 둘게요.

step3. 삼각형의 넓이를 두 가지 방법으로 표현하기

이제 이 문제의 가장 중요한 아이디어인 '넓이 두 가지로 표현하기'를 적용해 볼 거예요. 삼각형 ABC의 넓이를 $S$라고 해볼게요.

첫 번째 방법은 우리가 아주 잘 아는 '밑변과 높이'를 이용하는 거예요.

밑변을 $\overline{BC}=a$, 높이를 $\overline{AH}=2$로 보면,

$S=\frac{1}{2}\times a\times 2=a$ 가 됩니다.

두 번째 방법은 '두 변과 끼인각'을 이용하는 공식이에요.

$S=\frac{1}{2}\times \overline{AB}\times \overline{AC}\times \sin A$

여기에 우리가 step2에서 설정한 값들을 넣어볼게요.

$S=\frac{1}{2}\times (\sqrt{2}k)\times k\times \sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}{k}^2\sin A$

여기서 $\sin A$를 어떻게 처리할지가 관건이에요. step1에서 구한 외접원의 반지름 $R$을 활용하기 위해 사인법칙을 써볼게요.

$\frac{a}{\sin A}=2R=10\sqrt{2}$

이 식을 $\sin A$에 대해 정리하면 $\sin A=\frac{a}{10\sqrt{2}}$가 됩니다.

이것을 넓이 식에 대입해 볼까요?

$S=\frac{\sqrt{2}}{2}{k}^2\times \frac{a}{10\sqrt{2}}=\frac{k^{2}a}{20}$

자, 이제 두 가지 방법으로 구한 넓이 $S$가 서로 같아야 하겠죠?

$a=\frac{k^{2}a}{20}$

여기서 미지수 $a$가 양쪽에 있어서 당황할 수 있지만, 변의 길이인 $a$는 0이 아니므로 양변을 $a$로 시원하게 약분할 수 있어요!

$1=\frac{k^2}{20}$

따라서 $k^2=20$이라는 아주 깔끔한 결과를 얻게 됩니다.

step4. 피타고라스 정리를 이용하여 정답 도출하기

우리가 최종적으로 구해야 하는 것은 $\overline{BH}$의 길이예요.

그림을 머릿속에 그려보면, 삼각형 ABH는 $\angle AHB={90}^{\circ }$인 직각삼각형이에요.

따라서 피타고라스 정리를 사용할 수 있어요.

${\overline{AB}}^2={\overline{AH}}^2+{\overline{BH}}^2$

우리는 step3에서 $k^2=20$임을 구했죠? 이를 이용해 ${\overline{AB}}^2$을 계산해 볼게요.

$\overline{AB}=\sqrt{2}k$ 이므로,

${\overline{AB}}^2=(\sqrt{2}k{)}^2=2k^2=2\times 20=40$이 됩니다.

이제 피타고라스 정리 식에 알고 있는 값들을 대입해 줍니다. ($\overline{AH}=2$)

$40=2^2+{\overline{BH}}^2$

$40=4+{\overline{BH}}^2$

${\overline{BH}}^2=36$

길이는 항상 양수이므로, $\overline{BH}=6$이 됩니다. 참 잘 풀렸죠?

step1. 외접원의 반지름 구하기

$\pi R^2=50\pi ⟹R=5\sqrt{2}$

step2. 변의 길이를 미지수로 설정하기

$\overline{AB}=\sqrt{2}k,\overline{AC}=k,\overline{BC}=a$

step3. 삼각형의 넓이를 두 가지 방법으로 표현하기

$S=\frac{1}{2}·a·2=a$

--- 사인법칙 $\sin A=\frac{a}{10\sqrt{2}}$을 이용

$S=\frac{1}{2}·\sqrt{2}k·k·\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}{k}^2·\frac{a}{10\sqrt{2}}=\frac{k^{2}a}{20}$

$a=\frac{k^{2}a}{20}⟹k^2=20$

step4. 피타고라스 정리를 이용하여 정답 도출하기

${\overline{AB}}^2=2k^2=40$

$\overline{BH}=\sqrt{{\overline{AB}}^2-{\overline{AH}}^2}=\sqrt{40-4}=6$

$\therefore 6$