수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 적분 구간이 같은 정적분 합치기

주어진 식은 $5{\int }_0^{1}f(x)dx-{\int }_0^1(5x+f(x))dx$ 예요.

여기서 앞에 있는 상수 $5$를 적분 기호 안으로 넣으면 ${\int }_0^{1}5f(x)dx$ 가 됩니다.

두 정적분의 적분 구간이 $0$부터 $1$까지로 같으므로, 정적분의 성질을 이용해 하나의 적분으로 합칠 수 있어요.

합쳐보면 ${\int }_0^1\{5f(x)-(5x+f(x))\}dx$ 가 됩니다.

step2. 피적분함수 정리하기

이제 적분 기호 안의 식을 간단히 정리해 볼게요.

$5f(x)-(5x+f(x))=4f(x)-5x$ 가 되죠.

따라서 우리가 계산해야 할 식은 ${\int }_0^1(4f(x)-5x)dx$ 로 아주 간단해졌어요.

처음부터 $f(x)$를 대입해서 각각 적분하려고 하면 계산이 복잡해져서 실수하기 쉬우니, 항상 식을 먼저 간단히 하는 습관을 들이는 것이 좋아요.

step3. $f(x)$ 대입 및 정적분 계산

이제 문제에서 주어진 $f(x)=x^2+x$ 를 대입해 봅시다.

$4f(x)-5x=4(x^2+x)-5x=4x^2+4x-5x=4x^2-x$ 가 됩니다.

이제 이 식을 $0$부터 $1$까지 정적분하면 돼요.

${\int }_0^1(4x^2-x)dx={[\frac{4}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2]}_0^1$

위끝 $1$을 대입한 값에서 아래끝 $0$을 대입한 값을 빼면,

$(\frac{4}{3}-\frac{1}{2})-0=\frac{8}{6}-\frac{3}{6}=\frac{5}{6}$ 이 됩니다.

따라서 정답은 $\frac{5}{6}$ 입니다.

step1. 적분 구간이 같은 정적분 합치기

$5{\int }_0^{1}f(x)dx-{\int }_0^1(5x+f(x))dx$

$={\int }_0^1\{5f(x)-(5x+f(x))\}dx$   --- 적분 구간이 같으므로 합침

step2. 피적분함수 정리하기

$={\int }_0^1(4f(x)-5x)dx$

step3. $f(x)$ 대입 및 정적분 계산

$={\int }_0^1\{4(x^2+x)-5x\}dx$   --- $f(x)=x^2+x$ 대입

$={\int }_0^1(4x^2-x)dx$

$={[\frac{4}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2]}_0^1$

$=\frac{4}{3}-\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$

$\therefore ⑤$