수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 두 수의 곱 $k$ 구하기

두 수 ${\log }_{2}a$와 ${\log }_{a}8$의 곱이 $k$라고 했어요.

${\log }_{a}8$은 밑변환 공식을 이용하면 밑이 2인 로그로 바꿀 수 있습니다.

${\log }_{a}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}a}=\frac{3}{{\log }_{2}a}$

따라서 두 수의 곱 $k$는 다음과 같이 계산됩니다.

$k={\log }_{2}a\times \frac{3}{{\log }_{2}a}=3$

밑변환 공식을 이용하여 밑을 통일하면, 두 로그가 서로 역수 관계(상수배)에 있음을 알 수 있습니다.

step2. 두 수의 합을 이용한 방정식 세우기

두 수의 합이 4라고 했으므로,

${\log }_{2}a+\frac{3}{{\log }_{2}a}=4$

계산을 편리하게 하기 위해 ${\log }_{2}a=t$로 치환해 볼게요.

$t+\frac{3}{t}=4$

양변에 $t$를 곱하면,

$t^2+3=4t$

$t^2-4t+3=0$

이 이차방정식을 인수분해하면,

$(t-1)(t-3)=0$

따라서 $t=1$ 또는 $t=3$이 됩니다.

step3. $a$의 값 구하기

여기서 $t$의 값이 두 개 나왔다고 해서 아무거나 선택하면 안 됩니다. 문제의 첫 부분에 주어진 '$a>2$'라는 조건을 꼭 확인해야 해요.

$a>2$이므로, 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 ${\log }_{2}a>{\log }_{2}2$, 즉 $t>1$이 됩니다.

따라서 $t=1$은 조건에 맞지 않고, $t=3$이 올바른 값입니다.

${\log }_{2}a=3$이므로, 로그의 정의에 따라 $a=2^3=8$이 됩니다.

step4. $a+k$ 계산

앞서 구한 값들을 더해주면 됩니다.

$a=8$, $k=3$이므로,

$a+k=8+3=11$

따라서 정답은 11입니다.

step1. 두 수의 곱 $k$ 구하기

${\log }_{a}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}a}=\frac{3}{{\log }_{2}a}$

$k={\log }_{2}a\times \frac{3}{{\log }_{2}a}=3$

step2. 두 수의 합을 이용한 방정식 세우기

${\log }_{2}a+\frac{3}{{\log }_{2}a}=4$

${\log }_{2}a=t$라 하면,

$t+\frac{3}{t}=4$

$t^2-4t+3=0$

$(t-1)(t-3)=0$

$t=1$ 또는 $t=3$

step3. $a$의 값 구하기

--- $a>2$이므로 $t={\log }_{2}a>1$

$\therefore t=3$

${\log }_{2}a=3⟹a=2^3=8$

step4. $a+k$ 계산

$a+k=8+3=11$

$\therefore 11$