수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 양변 미분하여 관계식 찾기

먼저 조건 (가)의 식을 살펴볼게요.

${\int }_1^{x}tf(t)dt+{\int }_{-1}^{x}tg(t)dt=3x^4+8x^3-3x^2$

이 식의 양변을 $x$에 대하여 미분해 봅시다. 피적분함수가 $tf(t)$처럼 $t$가 곱해져 있어도 당황할 필요 없어요. 피적분함수 전체를 하나의 덩어리로 보고 $t$ 대신 $x$를 쏙 대입해서 꺼내면 됩니다.

미분한 결과는 다음과 같아요.

$xf(x)+xg(x)=12x^3+24x^2-6x$

모든 항에 $x$가 공통으로 들어있네요. $f(x)$와 $g(x)$는 다항함수이므로, 양변을 $x$로 나누어 식을 더 간단하게 만들어 줄 수 있습니다.

$f(x)+g(x)=12x^2+24x-6$

step2. 조건 (나) 대입 및 식의 의미 파악하기

이제 조건 (나)에서 주어진 $f(x)=x{g}^{\prime }(x)$를 방금 구한 식에 대입해 볼게요.

$x{g}^{\prime }(x)+g(x)=12x^2+24x-6$

여기서 좌변의 모양을 유심히 관찰해야 합니다. $x{g}^{\prime }(x)+g(x)$는 어디서 많이 본 형태 아닌가요?

바로 두 함수 $x$와 $g(x)$를 곱한 식을 미분했을 때 나오는 결과입니다.

즉, $\{xg(x){\}}^{\prime }=(x{)}^{\prime }g(x)+x{g}^{\prime }(x)=g(x)+x{g}^{\prime }(x)$ 가 되는 것이죠.

따라서 위 식을 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있어요.

$\frac{d}{dx}\{xg(x)\}=12x^2+24x-6$

step3. 양변을 적분하여 $g(x)$ 구하기

어떤 식을 미분했더니 $12x^2+24x-6$이 나왔다는 뜻이므로, 반대로 양변을 $x$에 대하여 적분하면 원래의 식 $xg(x)$를 구할 수 있습니다.

$xg(x)=\int (12x^2+24x-6)dx$

$xg(x)=4x^3+12x^2-6x+C$

여기서 적분상수 $C$를 절대 잊으면 안 됩니다! $C$를 구하기 위해 양변에 $x=0$을 대입해 보아야 해요.

$0·g(0)=0+0-0+C$

따라서 $C=0$이 됩니다.

이제 $C=0$을 대입하고 양변을 다시 $x$로 나누어주면 우리가 찾던 $g(x)$가 나옵니다.

$xg(x)=4x^3+12x^2-6x$

$g(x)=4x^2+12x-6$

step4. 정답 계산하기

마지막으로 문제에서 요구한 ${\int }_0^{3}g(x)dx$의 값을 계산해 봅시다.

${\int }_0^3(4x^2+12x-6)dx$

$={[\frac{4}{3}{x}^3+6x^2-6x]}_0^3$

위끝 $3$을 대입하면,

$=\frac{4}{3}(27)+6(9)-6(3)$

$=36+54-18$

$=72$

아래끝 $0$을 대입하면 $0$이므로, 최종 계산 결과는 $72$가 됩니다.

step1. 양변 미분하여 관계식 찾기

$\frac{d}{dx}({\int }_1^{x}tf(t)dt+{\int }_{-1}^{x}tg(t)dt)=\frac{d}{dx}(3x^4+8x^3-3x^2)$

$xf(x)+xg(x)=12x^3+24x^2-6x$

$f(x)+g(x)=12x^2+24x-6$

step2. 조건 (나) 대입 및 식의 의미 파악하기

--- $f(x)=x{g}^{\prime }(x)$ 대입

$x{g}^{\prime }(x)+g(x)=12x^2+24x-6$

$\{xg(x){\}}^{\prime }=12x^2+24x-6$

step3. 양변을 적분하여 $g(x)$ 구하기

$xg(x)=4x^3+12x^2-6x+C$

--- $x=0$ 대입하면 $C=0$

$xg(x)=4x^3+12x^2-6x$

$g(x)=4x^2+12x-6$

step4. 정답 계산하기

${\int }_0^3(4x^2+12x-6)dx={[\frac{4}{3}{x}^3+6x^2-6x]}_0^3$

$=36+54-18=72$

$\therefore 72$