수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 두 점의 $x$좌표 차이 구하기

두 점 $A_n,B_n$의 $x$좌표를 각각 $a,b$ ($a<b$)라고 해볼게요. 그러면 두 점의 좌표는 $A_n(a,2^a),B_n(b,2^b)$가 됩니다.

조건 (가)에서 직선의 기울기가 $3$이라고 했으므로, $\frac{2^b-2^a}{b-a}=3$이 성립해요. 이를 정리하면 $2^b-2^a=3(b-a)$가 됩니다.

이제 조건 (나)의 거리 공식을 써볼 텐데, 기울기가 3이므로 $x$증가량과 $y$증가량의 비가 $1:3$임을 이용하면 거리를 쉽게 표현할 수 있어요.

두 점 사이의 거리는 $\sqrt{(b-a{)}^2+(2^b-2^a{)}^2}$인데, $2^b-2^a$ 자리에 $3(b-a)$를 대입하면 $\sqrt{(b-a{)}^2+9(b-a{)}^2}=\sqrt{10(b-a{)}^2}=\sqrt{10}(b-a)$가 됩니다.

이 거리가 $n\sqrt{10}$이라고 했으므로, $\sqrt{10}(b-a)=n\sqrt{10}$에서 $b-a=n$이라는 아주 깔끔한 결과를 얻을 수 있어요.

step2. $y$좌표를 $n$에 대한 식으로 나타내기

앞서 구한 $b-a=n$에서 $b=a+n$임을 알 수 있어요.

이것을 기울기 식 $2^b-2^a=3(b-a)$에 대입해 볼게요.

$2^{a+n}-2^a=3n$이 되고, 좌변을 $2^a$로 묶어주면 $2^a(2^n-1)=3n$이 됩니다.

따라서 $2^a=\frac{3n}{2^n-1}$이라는 식을 얻을 수 있어요.

우리가 나중에 필요로 할 $2^b$의 값도 미리 구해두면, $2^b=2^{a+n}=2^n·2^a=\frac{3n·2^n}{2^n-1}$이 됩니다.

step3. 대칭성을 이용한 $x_n$ 파악

이제 원과 로그함수의 교점을 찾을 차례예요. 원의 방정식을 직접 세워서 로그함수와 연립하려고 하면 식이 풀리지 않는 함정에 빠지게 됩니다.

원의 중심이 직선 $y=x$ 위에 있으므로, 이 원을 $y=x$에 대해 접었다 펴면 자기 자신과 완전히 포개어집니다. 즉, 원 자체가 $y=x$에 대해 대칭이에요.

또한, 곡선 $y={\log }_{2}x$는 곡선 $y=2^x$와 $y=x$에 대해 대칭인 역함수 관계죠.

따라서 원과 $y=2^x$가 만나는 점 $A_n(a,2^a),B_n(b,2^b)$를 $y=x$에 대해 대칭이동한 점 $(2^a,a)$와 $(2^b,b)$는 자연스럽게 원과 $y={\log }_{2}x$가 만나는 두 점이 됩니다.

문제에서 이 두 점의 $x$좌표 중 큰 값을 $x_n$이라고 했어요. 두 점의 $x$좌표는 $2^a$와 $2^b$인데, $a<b$이므로 당연히 $2^a<2^b$가 성립합니다.

결국 우리가 찾는 $x_n$은 $2^b$가 되며, 앞서 구한 식에 따라 $x_n=\frac{3n·2^n}{2^n-1}$이 됩니다.

step4. $x_1+x_2+x_3$ 계산하기

이제 $n$에 $1,2,3$을 차례로 대입하여 값을 구하고 더해주기만 하면 됩니다.

$n=1$일 때: $x_1=\frac{3·1·2^1}{2^1-1}=\frac{6}{1}=6$

$n=2$일 때: $x_2=\frac{3·2·2^2}{2^2-1}=\frac{24}{3}=8$

$n=3$일 때: $x_3=\frac{3·3·2^3}{2^3-1}=\frac{72}{7}$

이 세 값을 모두 더하면 $6+8+\frac{72}{7}=14+\frac{72}{7}=\frac{98}{7}+\frac{72}{7}=\frac{170}{7}$이 됩니다.

$A_n(a,2^a),B_n(b,2^b)$ ($a<b$)라 하자.

step1. 두 점의 $x$좌표 차이 구하기

$\frac{2^b-2^a}{b-a}=3⟹2^b-2^a=3(b-a)$

$\overline{A_n{B}_n}=\sqrt{(b-a{)}^2+(2^b-2^a{)}^2}=\sqrt{(b-a{)}^2+9(b-a{)}^2}=\sqrt{10}(b-a)$

$\sqrt{10}(b-a)=n\sqrt{10}⟹b-a=n$

step2. $y$좌표를 $n$에 대한 식으로 나타내기

$2^{a+n}-2^a=3n⟹2^a(2^n-1)=3n$

$2^a=\frac{3n}{2^n-1}$

$2^b=2^{a+n}=\frac{3n·2^n}{2^n-1}$

step3. 대칭성을 이용한 $x_n$ 파악

원의 중심이 $y=x$ 위에 있으므로 원은 $y=x$ 대칭.

$y=2^x$와 $y={\log }_{2}x$도 $y=x$ 대칭.

--- 교점도 $y=x$ 대칭이므로

교점의 $x$좌표는 $2^a,2^b$.

$x_n=2^b=\frac{3n·2^n}{2^n-1}$

step4. $x_1+x_2+x_3$ 계산하기

$x_1=\frac{3·1·2}{1}=6$

$x_2=\frac{3·2·4}{3}=8$

$x_3=\frac{3·3·8}{7}=\frac{72}{7}$

$x_1+x_2+x_3=14+\frac{72}{7}=\frac{170}{7}$

$\therefore ⑤$