수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 조건을 $a$와 $r$의 식으로 나타내기

등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 해볼게요. 모든 항이 실수라고 했으니 $a$와 $r$도 실수겠죠?

등비수열의 일반항 공식 $a_n=a{r}^{n-1}$을 이용하면, 문제에 주어진 항들을 다음과 같이 쓸 수 있어요.

$a_2=ar$

$a_3=a{r}^2$

$a_4=a{r}^3$

이제 문제의 조건에 대입해 봅시다.

첫 번째 조건 $a_2{a}_3=2$에 대입하면, $(ar)\times (a{r}^2)=a^2{r}^3=2$ 가 됩니다.

두 번째 조건 $a_4=4$에 대입하면, $a{r}^3=4$ 가 되네요.

등비수열의 모든 항을 첫째항 $a$와 공비 $r$로 표현하여 식을 세우는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step2. 연립방정식 풀기

이제 우리가 가진 두 식은 $a^2{r}^3=2$ 와 $a{r}^3=4$ 예요. 이 두 식을 연립해서 $a$와 $r$을 구해볼까요?

$a^2{r}^3$ 이라는 식을 가만히 보면, 그 안에 $a{r}^3$ 이 숨어있다는 걸 알 수 있어요.

$a^2{r}^3=a\times (a{r}^3)$ 으로 쪼개서 쓸 수 있죠.

여기에 $a{r}^3=4$ 를 쏙 대입해 주면,

$a\times 4=2$ 가 되고, 양변을 4로 나누면 $a=\frac{1}{2}$ 이 됩니다.

두 식을 연립할 때 무작정 나누거나 복잡하게 계산하려다 실수하기 쉽습니다. 식의 형태를 관찰하여 공통된 덩어리($a{r}^3$)를 찾아 대입하는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다.

이제 구한 $a=\frac{1}{2}$ 을 $a{r}^3=4$ 에 대입해 볼게요.

$\frac{1}{2}\times r^3=4$ 이므로, 양변에 2를 곱하면 $r^3=8$ 이 됩니다.

모든 항이 실수라고 했으므로, 세제곱해서 8이 되는 실수 $r$은 $2$ 뿐이에요. 따라서 $r=2$ 입니다.

step3. $a_6$의 값 구하기

첫째항 $a=\frac{1}{2}$ 이고 공비 $r=2$ 라는 것을 모두 구했으니, 이제 마지막으로 $a_6$의 값을 계산해 봅시다.

$a_6=a{r}^5$ 이므로, 구한 값들을 대입하면

$a_6=\frac{1}{2}\times 2^5=\frac{1}{2}\times 32=16$ 이 됩니다.

따라서 정답은 16입니다.

step1. 조건을 $a$와 $r$의 식으로 나타내기

$a_2{a}_3=(ar)(a{r}^2)=a^2{r}^3=2$

$a_4=a{r}^3=4$

step2. 연립방정식 풀기

$a^2{r}^3=a(a{r}^3)=4a=2$   --- $a{r}^3=4$를 대입

$\therefore a=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}{r}^3=4⟹r^3=8$

$\therefore r=2$

step3. $a_6$의 값 구하기

$a_6=a{r}^5=\frac{1}{2}\times 2^5=16$

$\therefore 16$