수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $x=4$에서의 좌극한과 우극한 구하기

함수 $f(x)$가 실수 전체에서 연속이려면, 식이 바뀌는 경계점인 $x=4$에서 연속이어야 해요.

$x=4$에서 연속이려면 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 합니다.

먼저 $x$가 4보다 작으면서 4에 가까워질 때의 좌극한을 구해볼까요? 이때는 $f(x)=(x-a{)}^2$을 사용해요.

${lim}_{x\to 4^{-}}f(x)={lim}_{x\to 4^{-}}(x-a{)}^2=(4-a{)}^2$

다음으로 $x$가 4보다 크거나 같으면서 4에 가까워질 때의 우극한(그리고 함숫값)을 구해보면, $f(x)=2x-4$를 사용하죠.

${lim}_{x\to 4^{+}}f(x)=f(4)=2(4)-4=8-4=4$

step2. $a$에 대한 이차방정식 세우기

이제 좌극한과 우극한이 같아야 하므로 두 값을 같다고 놓습니다.

$(4-a{)}^2=4$

이 식을 전개해 볼까요?

$16-8a+a^2=4$

우변의 4를 좌변으로 넘겨서 정리하면,

$a^2-8a+12=0$ 이라는 $a$에 대한 이차방정식이 만들어집니다.

step3. 모든 상수 $a$의 값의 곱 구하기

여기서 방정식을 풀지 않고 근과 계수의 관계를 이용하면 더 빠르고 정확하게 두 근의 곱을 구할 수 있어요.

이차방정식 $a^2-8a+12=0$에서 두 근의 곱은 상수항인 12가 됩니다.

물론 직접 인수분해를 해서 $(a-2)(a-6)=0$ 이므로 $a=2$ 또는 $a=6$을 구한 뒤, $2\times 6=12$라고 계산해도 좋아요.

따라서 모든 상수 $a$의 값의 곱은 12입니다.

step1. $x=4$에서의 좌극한과 우극한 구하기

${lim}_{x\to 4^{-}}f(x)=(4-a{)}^2$

${lim}_{x\to 4^{+}}f(x)=f(4)=2(4)-4=4$

step2. $a$에 대한 이차방정식 세우기

$(4-a{)}^2=4$   --- $x=4$에서 연속이므로

$a^2-8a+16=4$

$a^2-8a+12=0$

step3. 모든 상수 $a$의 값의 곱 구하기

$(a-2)(a-6)=0$

$a=2$ 또는 $a=6$

$\therefore ②\times 6=12$