(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 수학 21번 풀이 해설 [이해용/실전용]

부등식이 주어졌는데 어떻게 함수

f (x)

의 계수를 정확한 값으로 구할 수 있을까요? 이럴 때는 부등식의 양끝 식에

k = 0, - 1, - 2

같은 작은 정수들을 대입해 보는 것이 좋아요. 놀랍게도 양끝 값이 완전히 똑같아져서 가운데 식의 값을 '콕' 집어낼 수 있는 마법 같은 숫자(

k

)가 숨어있답니다!

step1. $f (x)$ 식 세우고 가운데 항 정리하기

최고차항의 계수가 1인 삼차함수라고 했으므로, $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 로 둘 수 있어요.

이제 부등식의 가운데에 있는 $\frac{f (k + 2) - f (k)}{2}$ 를 계산해 볼까요?

먼저 $f (k + 2)$ 와 $f (k)$ 를 각각 구해봅니다.

$f (k + 2) = (k + 2)^{3} + a (k + 2)^{2} + b (k + 2) + c$

$= (k^{3} + 6 k^{2} + 12 k + 8) + a (k^{2} + 4 k + 4) + b (k + 2) + c$

$f (k) = k^{3} + a k^{2} + b k + c$

두 식을 빼면 차수가 높은 항부터 차례대로 지워지면서 정리가 됩니다.

$f (k + 2) - f (k) = 6 k^{2} + (4 a + 12) k + (4 a + 2 b + 8)$

이것을 2로 나누면 우리가 원하는 가운데 항이 완성됩니다.

$\frac{f (k + 2) - f (k)}{2} = 3 k^{2} + (2 a + 6) k + (2 a + b + 4)$

step2. 특정 정수 $k$ 를 대입하여 계수 구하기

이제 주어진 부등식에 우리가 구한 식을 넣어볼게요.

$2 k - 8 \leq 3 k^{2} + (2 a + 6) k + (2 a + b + 4) \leq 4 k^{2} + 14 k$

이 부등식이 '모든 실수'가 아니라 '모든 정수'에 대해 성립한다는 점을 놓치기 쉽습니다. 실수 조건이라면 판별식을 썼겠지만, 정수 조건이므로 $k$ 에 직접 숫자를 대입해 보는 것이 훨씬 효과적이에요.

양끝 식인 $2 k - 8$ 과 $4 k^{2} + 14 k$ 의 값이 같아지는 순간을 찾아볼까요?

$k = - 1$ 을 대입해 봅니다.

좌변: $2 (- 1) - 8 = - 10$

우변: $4 (- 1)^{2} + 14 (- 1) = 4 - 14 = - 10$

가운데: $3 (- 1)^{2} + (2 a + 6) (- 1) + (2 a + b + 4) = 3 - 2 a - 6 + 2 a + b + 4 = b + 1$

좌변과 우변이 모두 -10이 되었네요! 부등식의 양끝 값이 같아지면 가운데 값도 그 값과 같아야만 합니다.

따라서 $- 10 \leq b + 1 \leq - 10$ 이므로 $b + 1 = - 10$ , 즉 $b = - 11$ 이 됩니다.

이번에는 $k = - 2$ 를 대입해 봅니다.

좌변: $2 (- 2) - 8 = - 12$

우변: $4 (- 2)^{2} + 14 (- 2) = 16 - 28 = - 12$

가운데: $3 (- 2)^{2} + (2 a + 6) (- 2) + (2 a + b + 4) = 12 - 4 a - 12 + 2 a + b + 4 = - 2 a + b + 4$

이번에도 좌변과 우변이 -12로 똑같습니다!

따라서 $- 12 \leq - 2 a + b + 4 \leq - 12$ 이므로 $- 2 a + b + 4 = - 12$ 가 됩니다.

앞서 구한 $b = - 11$ 을 대입하면,

$- 2 a - 11 + 4 = - 12$

$- 2 a - 7 = - 12$

$- 2 a = - 5$ , 즉 $a = \frac{5}{2}$ 가 됩니다.

step3. $f^{'} (3)$ 의 값 계산하기

이제 $a$ 와 $b$ 의 값을 모두 구했으니 $f (x)$ 의 도함수를 완성할 수 있어요.

$f (x) = x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - 11 x + c$

미분하면,

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 5 x - 11$

마지막으로 우리가 구하고자 하는 $f^{'} (3)$ 의 값을 계산해 줍니다.

$f^{'} (3) = 3 (3)^{2} + 5 (3) - 11 = 27 + 15 - 11 = 31$

따라서 정답은 31이 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. $f (x)$ 식 세우고 가운데 항 정리하기

$f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$

$f (k + 2) - f (k) = (k + 2)^{3} - k^{3} + a ((k + 2)^{2} - k^{2}) + b (k + 2 - k)$

$= 6 k^{2} + 12 k + 8 + a (4 k + 4) + 2 b$

$\frac{f (k + 2) - f (k)}{2} = 3 k^{2} + (2 a + 6) k + (2 a + b + 4)$

step2. 특정 정수 $k$ 를 대입하여 계수 구하기

$2 k - 8 \leq 3 k^{2} + (2 a + 6) k + (2 a + b + 4) \leq 4 k^{2} + 14 k$

--- $k = - 1$ 대입

$- 10 \leq 3 - (2 a + 6) + (2 a + b + 4) \leq - 10$

$- 10 \leq b + 1 \leq - 10 ⟹ b = - 11$

--- $k = - 2$ 대입

$- 12 \leq 12 - 2 (2 a + 6) + (2 a + b + 4) \leq - 12$

$- 12 \leq - 2 a + b + 4 \leq - 12$

$- 2 a - 11 + 4 = - 12 ⟹ 2 a = 5 ⟹ a = \frac{5}{2}$

step3. $f^{'} (3)$ 의 값 계산하기

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b = 3 x^{2} + 5 x - 11$

$f^{'} (3) = 27 + 15 - 11 = 31$

$∴ 31$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

부등식이 '모든 정수 $k$ '에 대해 성립한다는 조건을 보고, 이차부등식의 판별식 $D \leq 0$ 을 떠올리지만 정수 조건 때문에 판별식만으로는 계수를 확정하지 못해 막힐 수 있습니다.
$\frac{f (k + 2) - f (k)}{2}$ 식을 보고 평균변화율의 기하학적 의미에만 집착하다가, 단순히 식을 대입하여 이차식을 만들어야 한다는 사실을 놓칠 수 있습니다.

🔑 돌파구

부등식의 양끝 식인 $2 k - 8$ 과 $4 k^{2} + 14 k$ 에 $k = 0, - 1, - 2$ 등 작은 정수를 직접 대입해 보세요. 특정 정수에서 양끝 값이 같아져 가운데 식의 값이 확정되는 순간을 발견할 수 있습니다.
$f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 로 두고 $r a c f (k + 2) - f (k) 2$ 를 직접 계산하여 $k$ 에 대한 이차식으로 정리하세요.
(팁: '모든 정수' 조건의 부등식은 양끝 값의 차이가 최소가 되는 정수를 대입해 보는 것이 핵심입니다.)

(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 고3 수학 21번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학2 · 다항함수의 미분 / 부등식과 항등식
난이도	상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

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🎯 막힌 이유와 돌파구