(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 미분가능한 함수의 극값 조건과 도함수의 부호 변화를 이용하여 미지수를 순차적으로 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. $x = 1$ 에서 극소라는 조건을 이용하여 $a$ 의 값을 구합니다.

step2. 도함수 $f^{'} (x)$ 를 완성하고, $f^{'} (x) = 0$ 이 되는 다른 $x$ 값을 찾아 극대 위치를 파악합니다.

step3. 극댓값이 28이라는 조건을 이용하여 $b$ 의 값을 구합니다.

step4. $a + b$ 의 값을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 다항함수의 극값 조건 : 다항함수 $f (x)$ 가 $x = α$ 에서 극값을 가지면 $f^{'} (α) = 0$ 이다.

5. 구체적 풀이

함수가

x = 1

에서 극소라는 것은 미분계수

f^{'} (1)

이 0이라는 뜻이에요. 이를 통해 먼저

a

를 구할 수 있고,

a

를 알면 도함수

f^{'} (x)

를 완전히 알 수 있으니 극대가 되는

x

의 위치도 찾을 수 있겠죠?

step1. $a$ 의 값 구하기

$f (x) = x^{3} + a x^{2} - 9 x + b$ 를 미분하면 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x - 9$ 가 됩니다.

다항함수가 $x = 1$ 에서 극값을 가지면 $f^{'} (1) = 0$ 이 되어야 해요.

따라서 $f^{'} (1) = 3 (1)^{2} + 2 a (1) - 9 = 2 a - 6 = 0$ 이므로, $a = 3$ 입니다.

step2. 극대 위치 파악하기

$a = 3$ 을 대입하여 도함수를 완성하면 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9$ 가 됩니다.

이를 인수분해하면 $f^{'} (x) = 3 (x^{2} + 2 x - 3) = 3 (x + 3) (x - 1)$ 이 되죠.

$f^{'} (x) = 0$ 이 되는 $x$ 의 값은 $x = - 3$ 또는 $x = 1$ 입니다.

극댓값이 28이라고 해서 $f (1) = 28$ 로 착각하면 안 돼요. $x = 1$ 에서는 극소라고 했으니, 극대는 $x = - 3$ 에서 가집니다.

step3. $b$ 의 값 구하기

$x = - 3$ 에서 극댓값 28을 가지므로, $f (- 3) = 28$ 입니다.

원래 함수에 $a = 3$ 을 대입한 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + b$ 에 $x = - 3$ 을 대입해 볼게요.

$f (- 3) = (- 3)^{3} + 3 (- 3)^{2} - 9 (- 3) + b = - 27 + 27 + 27 + b = 27 + b$ 가 됩니다.

$27 + b = 28$ 이므로, $b = 1$ 입니다.

step4. $a + b$ 계산하기

구한 $a$ 와 $b$ 의 값을 더하면 $a + b = 3 + 1 = 4$ 가 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. $a$ 의 값 구하기

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x - 9$

$f^{'} (1) = 3 + 2 a - 9 = 0$ --- $x = 1$ 에서 극소이므로

$2 a = 6 ⟹ a = 3$

step2. 극대 위치 파악

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9 = 3 (x + 3) (x - 1)$

$x = - 3$ 에서 극대

step3. $b$ 의 값 구하기

$f (- 3) = - 27 + 27 + 27 + b = 28$ --- 극댓값이 28이므로

$27 + b = 28 ⟹ b = 1$

step4. $a + b$ 계산

$a + b = 3 + 1 = 4$

$∴ 4$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$x = 1$ 에서 극소라는 조건에서 $f^{'} (1) = 0$ 을 이끌어내지 못할 수 있습니다.
극댓값을 갖는 $x$ 의 위치를 찾기 위해 $f^{'} (x) = 0$ 의 또 다른 근을 구해야 한다는 점을 놓칠 수 있습니다.

🔑 돌파구

다항함수가 $x = α$ 에서 극값을 가지면 $f^{'} (α) = 0$ 임을 이용해 미지수 하나를 먼저 구합니다.
도함수 $f^{'} (x)$ 를 완전히 구한 뒤, $f^{'} (x) = 0$ 이 되는 다른 $x$ 값을 찾아 그곳에서 극댓값을 가짐을 확인합니다.

(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 고3 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학2 · 다항함수의 미분 / 극대와 극소
난이도	중하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구