(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 수학 5번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 곱의 미분법을 이용하여 도함수를 구한 뒤 미분계수를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 곱의 미분법을 이용하여 $f^{'} (x)$ 를 구합니다.

step2. 구한 도함수 $f^{'} (x)$ 에 $x = 2$ 를 대입하여 $f^{'} (2)$ 의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 곱의 미분법 : 두 함수 $f (x), g (x)$ 가 미분가능할 때, ${f (x) g (x)}^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$ 입니다.

- 다항함수의 미분법 : $y = x^{n}$ ( $n$ 은 양의 정수)이면 $y^{'} = n x^{n - 1}$ 이고, 상수 $c$ 에 대하여 $y = c$ 이면 $y^{'} = 0$ 입니다.

5. 구체적 풀이

함수가 두 다항식의 곱으로 주어졌네요! 이럴 때는 식을 다 전개해서 미분해도 되지만, 곱의 미분법을 쓰면 계산을 조금 더 줄일 수 있어요. 미분한 식에

x = 2

를 대입하기만 하면 끝납니다.

step1. 곱의 미분법으로 도함수 구하기

함수 $f (x) = (x + 1) (x^{2} + x - 5)$ 는 두 식의 곱으로 이루어져 있어요.

곱의 미분법 ${f (x) g (x)}^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$ 를 적용해 봅시다.

앞의 식 $(x + 1)$ 을 미분하면 $1$ 이고, 뒤의 식 $(x^{2} + x - 5)$ 를 미분하면 $2 x + 1$ 이 됩니다.

따라서 $f^{'} (x) = (x + 1)^{'} (x^{2} + x - 5) + (x + 1) (x^{2} + x - 5)^{'}$

$= 1 \cdot (x^{2} + x - 5) + (x + 1) (2 x + 1)$ 이 됩니다.

여기서 식을 끝까지 전개해서 정리할 필요는 없어요. 우리는 $f^{'} (2)$ 의 값만 구하면 되니까요!

step2. $x = 2$ 대입하여 미분계수 계산하기

이제 구한 도함수 식에 $x = 2$ 를 대입해 볼까요?

$f^{'} (2) = (2^{2} + 2 - 5) + (2 + 1) (2 \cdot 2 + 1)$

$= (4 + 2 - 5) + 3 \cdot 5$

$= 1 + 15 = 16$

따라서 $f^{'} (2)$ 의 값은 16이 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 곱의 미분법으로 도함수 구하기

$f^{'} (x) = (x + 1)^{'} (x^{2} + x - 5) + (x + 1) (x^{2} + x - 5)^{'}$

$f^{'} (x) = (x^{2} + x - 5) + (x + 1) (2 x + 1)$

step2. $x = 2$ 대입하여 미분계수 계산하기

$f^{'} (2) = (2^{2} + 2 - 5) + (2 + 1) (2 \cdot 2 + 1)$

$f^{'} (2) = 1 + 3 \cdot 5$

$f^{'} (2) = 16$

$∴ ②$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

곱의 미분법 공식을 정확히 기억하지 못하여 미분을 잘못 수행할 수 있습니다.
미분 후 $x = 2$ 를 대입하는 과정에서 단순 사칙연산 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

곱의 미분법 공식 $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ 를 적용하여 차근차근 미분합니다.
미분한 식을 굳이 전개하여 정리할 필요 없이, 바로 $x = 2$ 를 대입하여 계산 실수를 줄입니다.
(확장 팁: 복잡한 곱의 형태는 식을 전개하는 것보다 곱의 미분법을 사용하는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다.)

(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 고3 수학 5번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅱ · 미분법 / 곱의 미분법 / 미분계수
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구