수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 도함수 $f^{\prime }(x)$를 부정적분하여 $f(x)$의 식 세우기

$f^{\prime }(x)=6x^2+2x+1$이므로, 양변을 $x$에 대해 적분해 볼게요.

$f(x)=\int (6x^2+2x+1)dx$

다항함수의 적분 공식을 적용하면,

$f(x)=6·\frac{1}{3}{x}^3+2·\frac{1}{2}{x}^2+x+C$

$f(x)=2x^3+x^2+x+C$ 가 됩니다.

부정적분을 할 때는 항상 마지막에 적분상수 $C$를 붙이는 것을 잊지 마세요!

step2. $f(0)=1$ 조건을 이용하여 적분상수 $C$ 구하기

문제에서 $f(0)=1$이라고 했죠? 방금 구한 식에 $x=0$을 대입해 봅시다.

$f(0)=2(0{)}^3+(0{)}^2+0+C=C$

따라서 $C=1$이 됩니다.

초기 조건 $f(0)$의 값은 다항함수에서 상수항, 즉 적분상수 $C$와 같다는 점을 이용하면 빠르게 계산할 수 있어요.

이제 함수 $f(x)$가 완벽하게 구해졌네요.

$f(x)=2x^3+x^2+x+1$

step3. 완성된 $f(x)$ 식에 $x=1$을 대입하여 $f(1)$의 값 계산하기

우리가 구하고 싶은 것은 $f(1)$의 값이므로, $x=1$을 대입해 줍니다.

$f(1)=2(1{)}^3+(1{)}^2+1+1$

$f(1)=2+1+1+1=5$

따라서 정답은 5입니다.

step1. 부정적분

$f(x)=\int (6x^2+2x+1)dx$

$f(x)=2x^3+x^2+x+C$

step2. 적분상수 구하기

$f(0)=C=1$   --- $f(0)=1$이므로

$\therefore f(x)=2x^3+x^2+x+1$

step3. 함숫값 계산

$f(1)=2(1{)}^3+(1{)}^2+1+1=5$

$\therefore 5$