수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $b_n$의 규칙 파악하기

먼저 등차수열 $a_n$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라고 해볼게요. 그러면 $a_n=a+(n-1)d$가 됩니다.

이제 $b_n={\sum }_{k=1}^n(-1{)}^{k+1}{a}_k$ 식에 $n$을 1부터 차례대로 대입해서 나열해 봅시다.

$b_1=a_1=a$

$b_2=a_1-a_2$

$b_3=a_1-a_2+a_3$

$b_4=a_1-a_2+a_3-a_4$

여기서 등차수열의 성질인 $a_1-a_2=-d$를 이용하면 식을 아주 간단하게 만들 수 있어요.

$b_2=a_1-a_2=-d$

$b_3=(a_1-a_2)+a_3=-d+(a+2d)=a+d$

$b_4=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)=-d-d=-2d$

$b_5=b_4+a_5=-2d+(a+4d)=a+2d$

이렇게 나열해 보니, 짝수 번째 항은 $-d,-2d,-3d\dots$ 처럼 공차만으로 이루어지고, 홀수 번째 항은 $a,a+d,a+2d\dots$ 처럼 첫째항과 공차로 이루어진다는 규칙을 찾을 수 있습니다.

step2. 공차 $d$ 구하기

문제에서 $b_2=-2$라고 주어졌어요.

우리가 step1에서 구한 규칙에 따르면 $b_2=-d$ 였죠?

따라서 $-d=-2$가 되어, 공차 $d=2$라는 것을 바로 알 수 있습니다.

step3. 첫째항 $a$ 구하기

다음 조건인 $b_3+b_7=0$을 이용해 볼게요.

step1의 규칙을 적용하면,

$b_3=a+d$

$b_7=a+3d$ 가 됩니다.

두 식을 더하면 $(a+d)+(a+3d)=2a+4d$가 되네요.

이 값이 0이어야 하므로 $2a+4d=0$, 양변을 2로 나누면 $a+2d=0$입니다.

step2에서 구한 $d=2$를 대입하면 $a+4=0$이 되어, 첫째항 $a=-4$임을 알 수 있습니다.

여기서 $a_n$의 일반항을 $2n-6$으로 끝까지 구해도 되지만, 굳이 구하지 않고 $a$와 $d$의 값만 가지고도 다음 단계를 충분히 계산할 수 있답니다.

step4. $b_1$부터 $b_9$까지의 합 구하기

이제 우리가 구해야 하는 최종 목표인 ${\sum }_{n=1}^9{b}_n$, 즉 $b_1+b_2+\dots +b_9$를 계산해 봅시다.

이 합을 홀수 번째 항들과 짝수 번째 항들로 나누어서 더하면 계산이 훨씬 수월해져요.

홀수 번째 항들의 합: $b_1+b_3+b_5+b_7+b_9=a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+(a+4d)=5a+10d$

짝수 번째 항들의 합: $b_2+b_4+b_6+b_8=-d-2d-3d-4d=-10d$

이 둘을 더하면 전체 합이 되는데, 놀랍게도 $(5a+10d)+(-10d)=5a$가 되어 $d$가 사라집니다!

우리가 구한 $a=-4$를 대입하면 $5\times (-4)=-20$이 됩니다.

따라서 정답은 -20입니다.

step1. $b_n$의 규칙 파악하기

$a_n=a+(n-1)d$

$b_1=a$

$b_2=a_1-a_2=-d$

$b_3=-d+a_3=a+d$

$b_4=a+d-a_4=-2d$

--- 짝수항은 $-md$, 홀수항은 $a+(m-1)d$ 꼴임을 파악

step2. 공차 $d$ 구하기

$b_2=-d=-2$

$\therefore d=2$

step3. 첫째항 $a$ 구하기

$b_3+b_7=(a+d)+(a+3d)=2a+4d=0$

$a+2d=0$

$a+4=0⟹a=-4$

step4. $b_1$부터 $b_9$까지의 합 구하기

${\sum }_{n=1}^9{b}_n=(b_1+b_3+b_5+b_7+b_9)+(b_2+b_4+b_6+b_8)$

$=(5a+10d)+(-10d)$

$=5a$

$=5\times (-4)=-20$

$\therefore -20(②)$