(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 시그마 기호로 표현된 식을 직접 나열하여 두 식의 차이를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 첫 번째 시그마 식을 $k = 1$ 부터 $10$ 까지 대입하여 나열합니다.

step2. 두 번째 시그마 식을 $k = 1$ 부터 $9$ 까지 대입하여 나열합니다.

step3. 두 식을 변끼리 빼서 구하고자 하는 $\sum_{k = 1}^{10} a_{k}$ 의 값을 찾습니다.

4. 풀이의 도구

- 시그마( $\sum$ )의 뜻 : $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ 과 같이 수열의 합을 기호로 간단히 나타낸 것입니다.

5. 구체적 풀이

시그마 기호 안에

k a_{k}

와

k a_{k + 1}

이 있어서 복잡해 보이죠? 이럴 때는 시그마의 성질을 이용해 식을 변형하려고 애쓰기보다는, 시그마의 원래 의미대로

k = 1

부터 차례대로 대입해서 식을 쭉 펼쳐보는 것이 가장 확실한 방법이에요. 두 식을 펼쳐서 위아래로 비교해보면 놀라운 규칙이 보일 거예요.

step1. 첫 번째 시그마 식 나열하기

먼저 $\sum_{k = 1}^{10} k a_{k} = 36$ 이 식을 나열해 볼게요.

$k$ 에 $1$ 부터 $10$ 까지 차례대로 대입해서 더하면 됩니다.

$1 \cdot a_{1} + 2 \cdot a_{2} + 3 \cdot a_{3} + \dots + 10 \cdot a_{10} = 36$ ... (기억)

step2. 두 번째 시그마 식 나열하기

이번에는 $\sum_{k = 1}^{9} k a_{k + 1} = 7$ 이 식을 나열해 볼까요?

여기서는 $k$ 가 $1$ 부터 $9$ 까지만 변하고, 수열의 항이 $a_{k + 1}$ 이라는 점을 놓치기 쉽습니다.

$k = 1$ 일 때는 $1 \cdot a_{2}$ , $k = 2$ 일 때는 $2 \cdot a_{3}$ 이 되겠죠?

$1 \cdot a_{2} + 2 \cdot a_{3} + 3 \cdot a_{4} + \dots + 9 \cdot a_{10} = 7$ ... (니은)

step3. 두 식을 빼서 정답 구하기

이제 (기억) 식에서 (니은) 식을 빼볼게요. 같은 항끼리 묶어서 계산하면 아주 깔끔해집니다.

두 식을 위아래로 나란히 두고 같은 $a_{n}$ 항끼리 빼주면 계수가 모두 1이 되는 것을 발견하는 것이 이 문제의 핵심입니다.

$(1 a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 10 a_{10}) - (1 a_{2} + 2 a_{3} + \dots + 9 a_{10})$

$= 1 a_{1} + (2 - 1) a_{2} + (3 - 2) a_{3} + \dots + (10 - 9) a_{10}$

$= a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{10}$

어라? 계산 결과가 우리가 구하고 싶은 $\sum_{k = 1}^{10} a_{k}$ 와 똑같아졌네요!

따라서 $\sum_{k = 1}^{10} a_{k} = 36 - 7 = 29$ 가 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 첫 번째 시그마 식 나열하기

$\sum_{k = 1}^{10} k a_{k} = a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 10 a_{10} = 36$

step2. 두 번째 시그마 식 나열하기

$\sum_{k = 1}^{9} k a_{k + 1} = a_{2} + 2 a_{3} + 3 a_{4} + \dots + 9 a_{10} = 7$

step3. 두 식을 빼서 정답 구하기

위의 두 식을 변끼리 빼면,

$(a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 10 a_{10}) - (a_{2} + 2 a_{3} + \dots + 9 a_{10})$

$= a_{1} + (2 - 1) a_{2} + (3 - 2) a_{3} + \dots + (10 - 9) a_{10}$

$= a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{10}$

$= \sum_{k = 1}^{10} a_{k}$

--- 두 식의 차가 구하고자 하는 값과 같으므로

$∴ \sum_{k = 1}^{10} a_{k} = 36 - 7 = 29$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

시그마 기호 안의 인덱스가 $k$ 와 $k + 1$ 로 다르고, 곱해진 계수도 달라서 어떻게 연산해야 할지 막막할 수 있습니다.
시그마의 성질만으로 식을 조작하려고 하면 인덱스 맞추기가 헷갈려 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

시그마 기호가 복잡해 보일 때는 $k = 1$ 부터 차례대로 대입하여 식을 길게 나열해 보세요.
나열된 두 식을 위아래로 적어놓고 비교하면, 각 항의 계수 차이가 일정하게 떨어지는 규칙을 쉽게 발견할 수 있습니다.
팁: 시그마 문제가 헷갈릴 때는 무조건 나열해서 규칙을 눈으로 확인하세요!

(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 고3 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 수열 / 시그마의 성질
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구