수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 진수 조건 구하기

로그가 수학적으로 의미를 가지려면 진수는 항상 0보다 커야 해요.

주어진 식에서 진수는 $x+2$와 $x-4$ 두 개가 있네요.

$x+2>0$ 에서 $x>-2$ 이고,

$x-4>0$ 에서 $x>4$ 가 됩니다.

이 두 조건을 동시에 만족해야 하므로, 우리가 찾는 $x$는 반드시 $x>4$ 범위 안에 있어야 해요.

방정식을 다 풀고 나서 진수 조건을 확인하려고 하면 까먹기 쉬우니, 항상 맨 처음에 구해두는 것이 좋아요.

step2. 로그의 밑 통일하기

이제 방정식을 풀어볼 텐데, 첫 번째 로그는 밑이 $3$이고 두 번째 로그는 밑이 $\frac{1}{3}$이라서 바로 계산하기가 어려워요.

밑이 다를 때는 거듭제곱을 이용해 밑을 같게 만들어주는 것이 로그 계산의 기본입니다.

$\frac{1}{3}$은 $3^{-1}$과 같으므로, 로그의 성질을 이용해 식을 변형해 볼게요.

${\log }_{\frac{1}{3}}(x-4)={\log }_{3^{-1}}(x-4)$

밑의 지수인 $-1$은 로그 앞으로 나갈 때 역수로 나가지만, $-1$의 역수는 그대로 $-1$이죠.

따라서 $-{\log }_3(x-4)$가 됩니다.

이것을 원래 방정식에 대입하면,

${\log }_3(x+2)-(-{\log }_3(x-4))=3$

마이너스와 마이너스가 만나 플러스가 되므로,

${\log }_3(x+2)+{\log }_3(x-4)=3$ 으로 아주 깔끔하게 정리됩니다.

step3. 로그 합치고 지수 형태로 바꾸기

밑이 $3$으로 같아졌고 더하기로 연결되어 있으니, 로그의 성질에 따라 진수끼리 곱해줄 수 있어요.

${\log }_3\{(x+2)(x-4)\}=3$

이제 로그를 벗겨내고 우리가 익숙한 다항방정식으로 만들어 볼게요. 로그의 정의에 의해 진수는 밑의 세제곱과 같습니다.

$(x+2)(x-4)=3^3$

$3^3=27$ 이므로,

$(x+2)(x-4)=27$ 이 됩니다.

step4. 이차방정식 풀이 및 최종 정답 확인

왼쪽 식을 전개해서 이차방정식을 풀어볼게요.

$x^2-2x-8=27$

$27$을 왼쪽으로 넘기면,

$x^2-2x-35=0$

곱해서 $-35$, 더해서 $-2$가 되는 두 수를 찾으면 $-7$과 $5$네요.

$(x-7)(x+5)=0$

따라서 $x=7$ 또는 $x=-5$ 가 나옵니다.

여기서 끝내면 안 되겠죠? step1에서 구해둔 진수 조건 $x>4$를 떠올려야 해요.

$-5$는 이 조건을 만족하지 않으므로 버리고, 조건을 만족하는 $7$만이 진짜 정답이 됩니다.

step1. 진수 조건

$x+2>0$ 이고 $x-4>0$

$\therefore x>4$

step2. 밑 통일 및 식 정리

${\log }_3(x+2)-{\log }_{3^{-1}}(x-4)=3$

${\log }_3(x+2)+{\log }_3(x-4)=3$

step3. 로그 합치기 및 지수 변환

${\log }_3\{(x+2)(x-4)\}=3$

$(x+2)(x-4)=3^3=27$

step4. 이차방정식 풀이 및 해 선택

$x^2-2x-8=27$

$x^2-2x-35=0$

$(x-7)(x+5)=0$

$x=7$ 또는 $x=-5$

--- $x>4$ 이므로

$\therefore x=7$