(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 수학 2번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 미분계수의 정의를 이용하여 극한식을 $f^{'} (1)$ 로 바꾼 후, 도함수를 구하여 대입하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 주어진 극한식이 미분계수 $f^{'} (1)$ 을 의미함을 파악합니다.

step2. 함수 $f (x)$ 의 도함수 $f^{'} (x)$ 를 구합니다.

step3. 도함수에 $x = 1$ 을 대입하여 $f^{'} (1)$ 의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 미분계수의 정의 : $f^{'} (a) = {lim}_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

- 다항함수의 미분법 : $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ , $(c)^{'} = 0$ (단, $c$ 는 상수)

5. 구체적 풀이

복잡해 보이는 극한식을 직접 계산하기보다는, 이 식이 미분계수의 정의와 정확히 일치한다는 것을 눈치채는 것이 중요해요. 그러면 미분 공식을 써서 아주 쉽게 풀 수 있답니다.

step1. 극한식의 의미 파악하기

구해야 하는 식 ${lim}_{h \to 0} \frac{f (1 + h) - f (1)}{h}$ 의 형태를 잘 살펴보세요.

이 식은 정확히 $x = 1$ 에서의 미분계수, 즉 $f^{'} (1)$ 의 정의와 같습니다.

$f (1 + h)$ 를 원래 함수에 직접 대입해서 전개하려고 하면 계산이 매우 복잡해지고 실수하기 쉬우니 주의해야 해요.

step2. 도함수 $f^{'} (x)$ 구하기

이제 $f^{'} (1)$ 을 구하기 위해 먼저 함수 $f (x)$ 의 도함수 $f^{'} (x)$ 를 구해볼게요.

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 5$ 를 미분법 공식에 따라 미분합니다.

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3 \cdot 2 x - 0 = 3 x^{2} + 6 x$ 가 됩니다.

step3. $f^{'} (1)$ 값 계산하기

마지막으로 구한 도함수 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x$ 에 $x = 1$ 을 대입합니다.

$f^{'} (1) = 3 (1)^{2} + 6 (1) = 3 + 6 = 9$ 입니다.

따라서 우리가 구하고자 하는 극한값은 9가 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 극한식의 의미 파악하기

${lim}_{h \to 0} \frac{f (1 + h) - f (1)}{h} = f^{'} (1)$ --- 미분계수의 정의

step2. 도함수 $f^{'} (x)$ 구하기

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 5$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x$

step3. $f^{'} (1)$ 값 계산하기

$f^{'} (1) = 3 (1)^{2} + 6 (1) = 9$

$∴ ⑤$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

극한식 ${lim}_{h \to 0} \frac{f (1 + h) - f (1)}{h}$ 이 무엇을 의미하는지 파악하지 못해, $f (1 + h)$ 를 직접 대입하여 복잡하게 계산하다가 실수할 수 있습니다.

🔑 돌파구

극한식이 $x = 1$ 에서의 미분계수 $f^{'} (1)$ 의 정의임을 파악하고, 도함수 $f^{'} (x)$ 를 구한 뒤 $x = 1$ 을 대입하여 간단히 계산합니다.
미분계수의 정의 형태를 눈에 익혀두면 극한 계산을 도함수 계산으로 쉽게 바꿀 수 있습니다.

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