(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 수학 13번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 함수의 대칭성을 파악하고, 정적분의 성질을 이용하여 복잡한 넓이 계산을 간단한 하나의 정적분 방정식으로 바꾸어 풀이합니다.

step1. 함수 $f (x)$ 의 대칭성을 파악하고 $x$ 축과의 교점을 확인합니다.

step2. 넓이 $A$ 와 $B$ 를 정적분 식으로 표현합니다.

step3. $A = 2 B$ 조건을 이용하여 정적분 식을 하나로 합칩니다.

step4. 합쳐진 정적분 식을 계산하여 $k$ 의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 우함수(y축 대칭 함수) : $f (- x) = f (x)$ 를 만족하는 함수로, $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x$ 가 성립합니다.

- 정적분과 넓이 : $f (x) \leq 0$ 인 구간 $[a, b]$ 에서 곡선과 $x$ 축 사이의 넓이는 $- \int_{a}^{b} f (x) d x$ 입니다.

- 정적분의 성질 : $\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x$ 가 성립합니다.

5. 구체적 풀이

넓이

A

와

B

를 각각 구하려고 하면 교점의 좌표가 무리수라서 계산이 너무 복잡해져요. 이럴 때는

A = 2 B

라는 조건과 함수의 대칭성을 엮어서, 정적분의 합이 0이 되는 구간을 찾아내는 것이 핵심이에요!

step1. 함수 $f (x)$ 의 대칭성과 교점 파악하기

먼저 함수 $f (x)$ 의 식을 살펴볼게요. $x < 0$ 일 때 $f (x) = - x^{2} - 2 x + 6$ 이고, $x \geq 0$ 일 때 $f (x) = - x^{2} + 2 x + 6$ 이에요. $x > 0$ 일 때 $f (- x) = - (- x)^{2} - 2 (- x) + 6 = - x^{2} + 2 x + 6 = f (x)$ 가 되므로, $f (x)$ 는 $y$ 축에 대하여 대칭인 우함수라는 것을 알 수 있어요.

이제 $x$ 축과의 교점인 P와 Q의 $x$ 좌표를 구해볼까요? $x \geq 0$ 에서 $- x^{2} + 2 x + 6 = 0$ 을 풀면 근의 공식에 의해 $x = 1 \pm \sqrt{7}$ 이 나와요. $x \geq 0$ 이므로 $x = 1 + \sqrt{7}$ 이 점 Q의 $x$ 좌표가 됩니다. $y$ 축 대칭이므로 점 P의 $x$ 좌표는 $- 1 - \sqrt{7}$ 이 되겠죠.

step2. 넓이 $A$ 와 $B$ 를 정적분으로 표현하기

넓이 $A$ 는 구간 $[- 1 - \sqrt{7}, 1 + \sqrt{7}]$ 에서 $f (x)$ 와 $x$ 축 사이의 넓이예요. $f (x)$ 가 $y$ 축 대칭이므로, $A = 2 \int_{0}^{1 + \sqrt{7}} f (x) d x$ 로 간단히 쓸 수 있어요.

넓이 $B$ 는 구간 $[1 + \sqrt{7}, k]$ 에서 $f (x)$ 와 $x$ 축 사이의 넓이인데, 이 구간에서 $f (x)$ 의 그래프는 $x$ 축 아래에 있어요. 그래프가 $x$ 축 아래에 있으므로 넓이를 구할 때는 정적분 값에 마이너스를 붙여야 한다는 점을 놓치기 쉬워요. 따라서 $B = - \int_{1 + \sqrt{7}}^{k} f (x) d x$ 가 됩니다.

step3. $A = 2 B$ 조건을 이용하여 식 합치기

문제에서 $A = 2 B$ 라고 했으므로, 우리가 구한 식을 대입해 볼게요.

$2 \int_{0}^{1 + \sqrt{7}} f (x) d x = 2 (- \int_{1 + \sqrt{7}}^{k} f (x) d x)$

양변을 2로 나누고 우변을 좌변으로 이항하면,

$\int_{0}^{1 + \sqrt{7}} f (x) d x + \int_{1 + \sqrt{7}}^{k} f (x) d x = 0$ 이 됩니다.

정적분의 성질에 의해 꼬리에 꼬리를 무는 구간을 하나로 합칠 수 있어요. 따라서 $\int_{0}^{k} f (x) d x = 0$ 이라는 아주 간단한 식을 얻게 됩니다!

step4. 정적분 계산하여 $k$ 값 구하기

이제 $\int_{0}^{k} f (x) d x = 0$ 을 계산해 봅시다. 구간 $[0, k]$ 에서 $f (x) = - x^{2} + 2 x + 6$ 이므로,

$\int_{0}^{k} (- x^{2} + 2 x + 6) d x = {[- \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 6 x]}_{0}^{k} = - \frac{1}{3} k^{3} + k^{2} + 6 k = 0$ 이 됩니다.

양변에 $- 3$ 을 곱하면 $k^{3} - 3 k^{2} - 18 k = 0$ 이고, $k$ 로 묶으면 $k (k^{2} - 3 k - 18) = 0$ 이 되죠.

이차식을 인수분해하면 $k (k - 6) (k + 3) = 0$ 이 됩니다.

문제에서 $k > 4$ 라고 했으므로, 조건을 만족하는 $k$ 의 값은 $6$ 입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 함수 $f (x)$ 의 대칭성과 교점 파악하기

$f (- x) = - (- x)^{2} - 2 (- x) + 6 = - x^{2} + 2 x + 6 = f (x)$ --- $x > 0$

$f (x)$ 는 $y$ 축 대칭

$x \geq 0$ 에서 $- x^{2} + 2 x + 6 = 0 ⟹ x = 1 + \sqrt{7}$

step2. 넓이 $A$ 와 $B$ 를 정적분으로 표현하기

$A = \int_{- 1 - \sqrt{7}}^{1 + \sqrt{7}} f (x) d x = 2 \int_{0}^{1 + \sqrt{7}} f (x) d x$

$B = - \int_{1 + \sqrt{7}}^{k} f (x) d x$

step3. $A = 2 B$ 조건을 이용하여 식 합치기

$2 \int_{0}^{1 + \sqrt{7}} f (x) d x = - 2 \int_{1 + \sqrt{7}}^{k} f (x) d x$

$\int_{0}^{1 + \sqrt{7}} f (x) d x + \int_{1 + \sqrt{7}}^{k} f (x) d x = 0$

$\int_{0}^{k} f (x) d x = 0$

step4. 정적분 계산하여 $k$ 값 구하기

$\int_{0}^{k} (- x^{2} + 2 x + 6) d x = {[- \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 6 x]}_{0}^{k} = 0$

$- \frac{1}{3} k^{3} + k^{2} + 6 k = 0$

$k^{2} - 3 k - 18 = 0$ --- $k > 4$ 이므로

$(k - 6) (k + 3) = 0$

$∴ k = 6$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$A$ 와 $B$ 의 넓이를 각각 직접 정적분으로 계산하려고 하면 교점의 좌표가 무리수라서 식이 매우 복잡해져 계산 실수를 하거나 포기하기 쉽습니다.
함수 $f (x)$ 가 $y$ 축 대칭(우함수)이라는 사실을 파악하지 못하면 $A$ 의 넓이를 간단히 표현하지 못해 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

넓이의 관계 $A = 2 B$ 를 정적분 식으로 표현한 뒤, 정적분의 성질을 이용하여 하나의 정적분 식 $\int_{0}^{k} f (x) d x = 0$ 으로 합쳐서 계산합니다.
$f (x)$ 의 식을 보고 $x < 0$ 일 때와 $x \geq 0$ 일 때의 식이 $y$ 축 대칭 관계임을 파악하여 $A = 2 \int_{0}^{x_{Q}} f (x) d x$ 로 나타냅니다.
넓이가 같거나 배수 관계인 문제는 직접 계산하기보다 정적분의 합이 0이 되는 성질을 이용하는 경우가 많다는 것을 기억하세요.

(2025학년도) 2024년 9월 모의평가 고3 수학 13번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학2 · 정적분의 활용 / 넓이 / 우함수
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구