수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 함수 $f(x)$의 그래프 그리기

$f(x)$는 두 구간으로 나뉘어 정의되어 있습니다.

먼저 $0\le x<\pi$ 구간에서 $f(x)=\sin x-1$입니다.

$\sin x$는 $0$에서 $1$까지 증가했다가 $0$으로 감소하므로, $f(x)$는 $-1$에서 시작해 $x=\frac{\pi }{2}$일 때 최댓값 $0$을 가지고, $x\to \pi$일 때 $-1$로 다가갑니다.

다음으로 $\pi \le x\le 2\pi$ 구간에서 $f(x)=-\sqrt{2}\sin x-1$입니다.

이 구간에서 $\sin x$는 $0$에서 $-1$까지 감소했다가 $0$으로 증가합니다.

따라서 $-\sqrt{2}\sin x$는 $0$에서 $\sqrt{2}$까지 증가했다가 $0$으로 감소하므로, $f(x)$는 $x=\pi$일 때 $-1$에서 시작해 $x=\frac{3\pi }{2}$일 때 최댓값 $\sqrt{2}-1$을 가지고, $x=2\pi$일 때 다시 $-1$이 됩니다.

두 번째 구간에서 $-\sqrt{2}$가 곱해져 있으므로 그래프가 위로 볼록한 형태가 되며, 최댓값이 양수($\sqrt{2}-1>0$)가 된다는 점을 놓치기 쉽습니다.

step2. 교점이 3개가 되는 $k$의 값 찾기

$f(t)$를 상수 $k$로 치환하면, 방정식 $f(x)=k$의 실근의 개수는 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=k$의 교점의 개수와 같습니다.

그래프를 보며 $k$의 값에 따른 교점의 개수를 확인해 봅시다.

- $k=\sqrt{2}-1$일 때: 교점 1개 ($x=\frac{3\pi }{2}$)

- $0<k<\sqrt{2}-1$일 때: 교점 2개

- $k=0$일 때: 교점 3개 ($x=\frac{\pi }{2}$에서 접하고, $\pi <x<2\pi$ 구간에서 2개)

- $-1<k<0$일 때: 교점 4개

- $k=-1$일 때: 교점 3개 ($x=0,\pi ,2\pi$)

- $k<-1$일 때: 교점 0개

따라서 교점이 3개가 되는 $k$의 값은 $k=0$ 또는 $k=-1$입니다.

step3. 조건을 만족하는 모든 $t$의 값 구하기

이제 $f(t)=0$ 또는 $f(t)=-1$을 만족하는 $t$를 찾으면 됩니다.

1) $f(t)=0$인 경우:

$0\le t<\pi$일 때, $\sin t-1=0⟹\sin t=1⟹t=\frac{\pi }{2}$

$\pi \le t\le 2\pi$일 때, $-\sqrt{2}\sin t-1=0⟹\sin t=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

이 구간에서 $\sin t=-\frac{\sqrt{2}}{2}$를 만족하는 $t$는 $t=\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$와 $t=2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}$입니다.

2) $f(t)=-1$인 경우:

$0\le t<\pi$일 때, $\sin t-1=-1⟹\sin t=0⟹t=0$

$\pi \le t\le 2\pi$일 때, $-\sqrt{2}\sin t-1=-1⟹\sin t=0⟹t=\pi ,2\pi$

따라서 조건을 만족하는 모든 $t$의 값은 $0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4},2\pi$입니다.

이들의 합을 구하면,

$0+\frac{\pi }{2}+\pi +\frac{5\pi }{4}+\frac{7\pi }{4}+2\pi =\frac{\pi }{2}+3\pi +\frac{12\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+3\pi +3\pi =\frac{13\pi }{2}$가 됩니다.

문제에서 이 합이 $\frac{q}{p}\pi$라고 했으므로 $p=2,q=13$이며, $p+q=15$입니다.

step1. 함수 $f(x)$의 그래프 개형 파악

$0\le x<\pi$에서 $f(x)=\sin x-1$

--- 최댓값 $0$ ($x=\frac{\pi }{2}$), 최솟값 $-1$

$\pi \le x\le 2\pi$에서 $f(x)=-\sqrt{2}\sin x-1$

--- 최댓값 $\sqrt{2}-1$ ($x=\frac{3\pi }{2}$), 최솟값 $-1$

step2. $f(x)=k$의 실근 개수가 3인 $k$ 찾기

$f(t)=k$라 하면, $y=f(x)$와 $y=k$의 교점이 3개여야 함.

그래프에서 교점이 3개인 $k$의 값은 $k=0$ 또는 $k=-1$

step3. 모든 $t$의 값 구하기

$f(t)=0$일 때:

$0\le t<\pi ⟹\sin t=1⟹t=\frac{\pi }{2}$

$\pi \le t\le 2\pi ⟹\sin t=-\frac{\sqrt{2}}{2}⟹t=\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$

$f(t)=-1$일 때:

$0\le t<\pi ⟹\sin t=0⟹t=0$

$\pi \le t\le 2\pi ⟹\sin t=0⟹t=\pi ,2\pi$

모든 $t$의 합 $=0+\frac{\pi }{2}+\pi +\frac{5\pi }{4}+\frac{7\pi }{4}+2\pi =\frac{13}{2}\pi$

$\therefore p=2,q=13⟹p+q=15$