수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 각 변환을 이용한 $\cos \theta$ 구하기

먼저 주어진 조건인 $\cos (\pi +\theta )=\frac{2\sqrt{5}}{5}$를 간단히 해볼게요. $\pi +\theta$는 제3사분면의 각으로 생각할 수 있으므로, 코사인의 부호는 음수(-)가 됩니다. 따라서 $\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta$로 바꿀 수 있어요.

이것을 주어진 식에 대입하면 $-\cos \theta =\frac{2\sqrt{5}}{5}$가 되고, 양변에 -1을 곱하면 $\cos \theta =-\frac{2\sqrt{5}}{5}$를 얻을 수 있습니다.

step2. $\sin \theta$ 구하기

이제 $\cos \theta$를 알았으니 $\sin \theta$를 구해볼 차례예요. 삼각함수 사이의 관계인 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$을 이용합니다.

${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta =1-{(-\frac{2\sqrt{5}}{5})}^2=1-\frac{20}{25}=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$이 됩니다.

여기서 $\sin \theta$를 구하려면 제곱근을 씌워야 하는데, 부호를 결정해야 해요. 문제에서 주어진 각의 범위 $\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$를 놓치기 쉽습니다. 이 범위는 제2사분면을 의미하므로, 제2사분면에서 사인(sin)의 부호는 양수(+)입니다.

따라서 $\sin \theta =\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$가 됩니다.

step3. $\sin \theta +\cos \theta$ 계산하기

마지막으로 문제에서 구하라고 한 $\sin \theta +\cos \theta$의 값을 계산해볼게요.

앞서 구한 값들을 대입하면, $\sin \theta +\cos \theta =\frac{\sqrt{5}}{5}+(-\frac{2\sqrt{5}}{5})=-\frac{\sqrt{5}}{5}$가 됩니다.

따라서 정답은 ②번입니다.

step1. 각 변환을 이용한 $\cos \theta$ 구하기

$\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta =\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta =-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

step2. $\sin \theta$ 구하기

${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta =1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$

--- $\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$이므로 $\sin \theta >0$

$\sin \theta =\frac{\sqrt{5}}{5}$

step3. $\sin \theta +\cos \theta$ 계산하기

$\sin \theta +\cos \theta =\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\therefore ②$