수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 점 C의 좌표 찾기

먼저 점 A(a, b)가 곡선 y=2^x-m+n 위의 점이므로 $b=2^{a-m}+n$이 성립해요.

점 B(b, a)는 점 A를 $y=x$에 대해 대칭이동한 점이죠. 지수함수 $y=2^{x-m}+n$의 역함수를 구해보면 $y={\log }_2(x-n)+m$이 되는데, 점 B는 바로 이 역함수 그래프 위의 점이 됩니다. 즉, $a={\log }_2(b-n)+m$이에요.

이제 문제에 주어진 또 다른 곡선 $y={\log }_2(x-n+1)+m-7$을 살펴볼까요?

이 식은 점 B가 지나는 곡선 $y={\log }_2(x-n)+m$의 $x$ 대신 $x+1$을, $y$ 대신 $y+7$을 대입한 형태와 같아요. 즉, 원래 곡선을 $x$축 방향으로 $-1$만큼, $y$축 방향으로 $-7$만큼 평행이동한 곡선이라는 뜻입니다.

그렇다면 점 B(b, a)를 똑같이 평행이동한 점 $(b-1,a-7)$도 이 새로운 곡선 위에 있겠죠?

이때 점 B에서 점 $(b-1,a-7)$까지의 거리를 구해보면 $\sqrt{(-1{)}^2+(-7{)}^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$가 됩니다.

어라? 이 거리는 문제에서 말한 원의 반지름 $5\sqrt{2}$와 정확히 일치해요! 따라서 점 $(b-1,a-7)$은 원과 로그함수 곡선의 교점이 됩니다.

로그함수의 그래프 모양을 생각해보면, 이 점이 $x$좌표가 더 작은 교점 C가 됨을 알 수 있어요. 따라서 $C(b-1,a-7)$입니다.

step2. 조건 (가)를 이용한 a, b의 관계식 도출

조건 (가)에서 직선 AC와 직선 $y=\frac{1}{3}x$가 서로 수직이라고 했어요.

두 직선이 수직이려면 기울기의 곱이 $-1$이어야 하므로, 직선 AC의 기울기는 $-3$이 되어야 합니다.

점 A$(a,b)$와 점 C$(b-1,a-7)$를 이용하여 기울기를 구해보면,

$\frac{a-7-b}{b-1-a}=-3$ 이 됩니다.

양변에 분모를 곱해서 정리해볼까요?

$a-b-7=-3(b-a-1)$

$a-b-7=-3b+3a+3$

$2b-2a=10$

따라서 $b-a=5$라는 첫 번째 중요한 관계식을 얻을 수 있어요.

step3. 조건 (나)를 이용한 a, b의 값 확정

이제 삼각형의 넓이를 구해볼 차례예요.

먼저 삼각형 AOB의 넓이는 원점 O와 제1사분면의 두 점 A$(a,b)$, B$(b,a)$로 이루어져 있어요. $a<b$이므로 넓이는 $\frac{1}{2}(b^2-a^2)$이 됩니다. 합차 공식으로 인수분해하면 $\frac{1}{2}(b-a)(a+b)$이고, $b-a=5$를 대입하면 $\frac{5}{2}(a+b)$가 되네요.

다음으로 삼각형 ACB의 넓이를 구해볼게요. 선분 AB를 밑변으로 생각하면, 길이는 $\sqrt{(b-a{)}^2+(a-b{)}^2}=\sqrt{5^2+(-5{)}^2}=5\sqrt{2}$입니다.

여기서 높이를 구할 때 직선 AB의 방정식을 $y=x$로 착각하면 안 돼요! 직선 AB는 $y=x$에 수직이므로 기울기가 $-1$이고 점 $(a,b)$를 지나는 직선, 즉 $y-b=-(x-a)$ $\Rightarrow$ $x+y-(a+b)=0$입니다.

점 C$(b-1,a-7)$에서 이 직선까지의 거리(높이)를 구하면,

$\frac{|(b-1)+(a-7)-(a+b)|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|-8|}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$가 됩니다.

따라서 삼각형 ACB의 넓이는 $\frac{1}{2}\times 5\sqrt{2}\times 4\sqrt{2}=20$이에요.

조건 (나)에서 넓이의 비가 $27:8$이라고 했으므로,

$\frac{5}{2}(a+b):20=27:8$ 이 성립합니다.

비례식을 풀면 $\frac{5(a+b)}{40}=\frac{27}{8}$ 이고, 양변에 $40$을 곱하면 $5(a+b)=135$, 즉 $a+b=27$이 됩니다.

앞서 구한 $b-a=5$와 연립하면 $2b=32$에서 $b=16$, $a=11$을 얻을 수 있어요.

step4. m+n의 최댓값 구하기

이제 구한 $a,b$의 값을 처음 지수함수 식에 대입해봅시다.

점 A$(11,16)$이 $y=2^{x-m}+n$ 위의 점이므로 $16=2^{11-m}+n$이 성립해요.

문제에서 $m,n$은 자연수라고 했어요. $n$이 자연수이려면 $2^{11-m}$도 자연수여야 하므로, 지수인 $11-m$은 $0$ 이상의 정수여야 합니다. 즉, $m\le 11$이에요.

가능한 $m$의 값을 하나씩 대입해서 $m+n$을 구해볼까요?

- $m=11$일 때: $n=16-2^0=15$ $\Rightarrow$ $m+n=26$

- $m=10$일 때: $n=16-2^1=14$ $\Rightarrow$ $m+n=24$

- $m=9$일 때: $n=16-2^2=12$ $\Rightarrow$ $m+n=21$

- $m=8$일 때: $n=16-2^3=8$ $\Rightarrow$ $m+n=16$

$m$이 작아질수록 $n$도 작아지므로 $m+n$의 값은 점점 작아집니다.

따라서 $m+n$의 최댓값은 $26$이 됩니다.

step1. 점 C의 좌표 찾기

$A(a,b)\Rightarrow b=2^{a-m}+n$

$B(b,a)\Rightarrow a={\log }_2(b-n)+m$

곡선 $y={\log }_2(x-n+1)+m-7$은 위 역함수를 $x$축으로 $-1$, $y$축으로 $-7$ 평행이동.

$B(b,a)$를 이동한 점 $(b-1,a-7)$과 $B$의 거리는 $\sqrt{(-1{)}^2+(-7{)}^2}=5\sqrt{2}$.

--- 반지름과 일치하므로 교점 $C(b-1,a-7)$

step2. 조건 (가)를 이용한 a, b의 관계식 도출

$AC$ 기울기 $=\frac{a-7-b}{b-1-a}=-3$

$a-b-7=-3b+3a+3\Rightarrow 2b-2a=10\Rightarrow b-a=5$

step3. 조건 (나)를 이용한 a, b의 값 확정

$△AOB=\frac{1}{2}(b^2-a^2)=\frac{5}{2}(a+b)$

직선 $AB$: $x+y-(a+b)=0$

$C$에서 $AB$까지 거리 $h=\frac{|b-1+a-7-a-b|}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$

$△ACB=\frac{1}{2}·5\sqrt{2}·4\sqrt{2}=20$

$\frac{5}{2}(a+b):20=27:8\Rightarrow a+b=27$

연립하면 $a=11,b=16$

step4. m+n의 최댓값 구하기

$16=2^{11-m}+n$

$m,n\in \mathbb{N}$이므로 $11-m\ge 0\Rightarrow m\le 11$

$m=11$일 때 $n=15\Rightarrow m+n=26$   --- 최대

$\therefore 26$