수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 점 A, B의 $x$좌표와 선분 AB의 길이 구하기

함수 $f(x)=\cos \frac{\pi x}{a}$의 그래프가 직선 $y=\frac{1}{2}$과 만나는 점의 $x$좌표를 구해야 해요.

$\cos \frac{\pi x}{a}=\frac{1}{2}$

여기서 $\frac{\pi x}{a}=t$라고 치환해 볼까요? $x$의 범위가 $0\le x\le 2a$이므로 $t$의 범위는 $0\le t\le 2\pi$가 됩니다.

$\cos t=\frac{1}{2}$을 만족하는 $t$는 $\frac{\pi }{3}$와 $\frac{5\pi }{3}$입니다.

다시 $x$로 되돌리면,

$\frac{\pi x}{a}=\frac{\pi }{3}$ 에서 $x=\frac{a}{3}$

$\frac{\pi x}{a}=\frac{5\pi }{3}$ 에서 $x=\frac{5a}{3}$

점 A의 $x$좌표가 점 B의 $x$좌표보다 작으므로, A의 $x$좌표는 $\frac{a}{3}$, B의 $x$좌표는 $\frac{5a}{3}$입니다.

따라서 선분 AB의 길이는 $\overline{\text{AB}}=\frac{5a}{3}-\frac{a}{3}=\frac{4a}{3}$가 됩니다.

$x$의 범위를 고려하지 않고 일반해를 구하거나, 치환 후 원래 변수 $x$로 되돌리는 것을 잊지 않도록 주의하세요.

step2. 점 C, D의 $x$좌표와 선분 CD의 길이 구하기

마찬가지로 직선 $y=-\frac{1}{2}$과 만나는 점의 $x$좌표를 구합니다.

$\cos \frac{\pi x}{a}=-\frac{1}{2}$

$\cos t=-\frac{1}{2}$을 만족하는 $t$는 $\frac{2\pi }{3}$와 $\frac{4\pi }{3}$입니다.

$\frac{\pi x}{a}=\frac{2\pi }{3}$ 에서 $x=\frac{2a}{3}$

$\frac{\pi x}{a}=\frac{4\pi }{3}$ 에서 $x=\frac{4a}{3}$

점 C의 $x$좌표가 점 D의 $x$좌표보다 작으므로, C의 $x$좌표는 $\frac{2a}{3}$, D의 $x$좌표는 $\frac{4a}{3}$입니다.

따라서 선분 CD의 길이는 $\overline{\text{CD}}=\frac{4a}{3}-\frac{2a}{3}=\frac{2a}{3}$가 됩니다.

step3. 사다리꼴의 넓이를 이용하여 $a$의 값 구하기

선분 AB와 선분 CD는 모두 $x$축에 평행하므로, 사각형 ACDB는 사다리꼴입니다.

사다리꼴의 높이는 두 평행선 $y=\frac{1}{2}$과 $y=-\frac{1}{2}$ 사이의 거리이므로 $\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})=1$입니다.

사다리꼴의 넓이 공식을 적용하면,

$\text{넓이}=\frac{1}{2}\times (\overline{\text{AB}}+\overline{\text{CD}})\times \text{높이}$

$=\frac{1}{2}\times (\frac{4a}{3}+\frac{2a}{3})\times 1$

$=\frac{1}{2}\times 2a\times 1=a$

문제에서 사각형 ACDB의 넓이가 $\frac{3}{2}$이라고 했으므로, $a=\frac{3}{2}$입니다.

step4. 최종 정답 계산하기

구해야 하는 값은 $a\times \overline{\text{AB}}$입니다.

앞서 $\overline{\text{AB}}=\frac{4a}{3}$라고 구했죠?

여기에 $a=\frac{3}{2}$를 대입하면,

$\overline{\text{AB}}=\frac{4}{3}\times \frac{3}{2}=2$

따라서 $a\times \overline{\text{AB}}=\frac{3}{2}\times 2=3$이 됩니다.

step1. 점 A, B의 $x$좌표와 선분 AB의 길이 구하기

$\cos \frac{\pi x}{a}=\frac{1}{2}$

$\frac{\pi x}{a}=\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$   --- ($0\le x\le 2a$이므로)

$x=\frac{a}{3},\frac{5a}{3}$

$\overline{\text{AB}}=\frac{5a}{3}-\frac{a}{3}=\frac{4a}{3}$

step2. 점 C, D의 $x$좌표와 선분 CD의 길이 구하기

$\cos \frac{\pi x}{a}=-\frac{1}{2}$

$\frac{\pi x}{a}=\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$

$x=\frac{2a}{3},\frac{4a}{3}$

$\overline{\text{CD}}=\frac{4a}{3}-\frac{2a}{3}=\frac{2a}{3}$

step3. 사다리꼴의 넓이를 이용하여 $a$의 값 구하기

사각형 ACDB는 사다리꼴이고, 높이는 $\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})=1$

넓이 $=\frac{1}{2}\times (\frac{4a}{3}+\frac{2a}{3})\times 1=a$

$a=\frac{3}{2}$   --- (넓이가 $\frac{3}{2}$이므로)

step4. 최종 정답 계산하기

$a\times \overline{\text{AB}}=a\times \frac{4a}{3}=\frac{4a^2}{3}$

$=\frac{4}{3}\times {\left(\frac{3}{2}\right)}^2=3$

$\therefore ①$