수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 주요 교점과 절편의 $x$좌표 구하기

먼저 곡선 $y=f(x)$가 $x$축과 만나는 점을 구하기 위해 $f(x)=0$을 풉니다.

$x^3+2x^2+x+2=x^2(x+2)+(x+2)=(x^2+1)(x+2)=0$

$x^2+1>0$이므로 $x=-2$가 됩니다.

다음으로 직선 $y=4x+2$가 $x$축과 만나는 점 R의 $x$좌표는 $4x+2=0$에서 $x=-\frac{1}{2}$입니다.

이제 두 그래프가 만나는 교점을 구하기 위해 $f(x)=4x+2$를 풉니다.

$x^3+2x^2+x+2=4x+2$

$x^3+2x^2-3x=0$

$x(x^2+2x-3)=x(x+3)(x-1)=0$

따라서 $x=-3,0,1$이 나옵니다.

조건에 따라 제1사분면의 점 P의 $x$좌표는 $1$, $y$축 위의 점 Q의 $x$좌표는 $0$임을 알 수 있습니다.

step2. 넓이 $A$ 구하기

넓이 $A$를 구할 때 단순히 하나의 정적분으로 표현하려고 하면 실수하기 쉽습니다.

그림을 자세히 보면 넓이 $A$는 $x=-2$부터 $x=0$까지 곡선 $y=f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 전체 넓이에서, 직각삼각형 ORQ의 넓이를 뺀 것과 같습니다.

먼저 곡선 아래의 넓이를 정적분으로 구해보면,

${\int }_{-2}^0(x^3+2x^2+x+2)dx={[\frac{1}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+2x]}_{-2}^0$

$=0-(4-\frac{16}{3}+2-4)=-(-\frac{10}{3})=\frac{10}{3}$ 입니다.

그리고 삼각형 ORQ의 넓이는 밑변의 길이가 점 R의 $x$좌표의 절댓값인 $\frac{1}{2}$, 높이가 점 Q의 $y$좌표인 $2$이므로 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times 2=\frac{1}{2}$ 이 됩니다.

따라서 넓이 $A$는 $\frac{10}{3}-\frac{1}{2}=\frac{17}{6}$ 입니다.

step3. 넓이 $B$ 구하기

넓이 $B$는 구간 $[0,1]$에서 직선 $y=4x+2$가 곡선 $y=f(x)$보다 위에 있으므로, 직선의 식에서 곡선의 식을 빼서 정적분합니다.

$B={\int }_0^1\{(4x+2)-(x^3+2x^2+x+2)\}dx$

$={\int }_0^1(-x^3-2x^2+3x)dx$

$={[-\frac{1}{4}{x}^4-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2]}_0^1$

$=-\frac{1}{4}-\frac{2}{3}+\frac{3}{2}=\frac{-3-8+18}{12}=\frac{7}{12}$ 입니다.

step4. $A-B$ 계산하기

이제 구한 $A$와 $B$의 값을 빼서 최종 정답을 계산합니다.

$A-B=\frac{17}{6}-\frac{7}{12}=\frac{34}{12}-\frac{7}{12}=\frac{27}{12}=\frac{9}{4}$

(참고로, $A$와 $B$의 정적분 식을 처음부터 빼기 형태로 연결하면 정적분의 성질에 의해 하나의 식으로 합쳐져서 계산을 더 단축할 수도 있답니다!)

step1. 주요 교점과 절편의 $x$좌표 구하기

$f(x)=x^3+2x^2+x+2=(x^2+1)(x+2)=0\Rightarrow x=-2$

$4x+2=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$   --- 점 R

$f(x)=4x+2\Rightarrow x^3+2x^2-3x=x(x+3)(x-1)=0$

--- 제1사분면 교점 P는 $x=1$, $y$축 교점 Q는 $x=0$

step2. 넓이 $A$ 구하기

$A={\int }_{-2}^{0}f(x)dx-(△\text{ORQ의 넓이})$

${\int }_{-2}^0(x^3+2x^2+x+2)dx={[\frac{1}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+2x]}_{-2}^0=\frac{10}{3}$

$△\text{ORQ}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times 2=\frac{1}{2}$

$\therefore A=\frac{10}{3}-\frac{1}{2}=\frac{17}{6}$

step3. 넓이 $B$ 구하기

$B={\int }_0^1(4x+2-f(x))dx={\int }_0^1(-x^3-2x^2+3x)dx$

$={[-\frac{1}{4}{x}^4-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2]}_0^1=-\frac{1}{4}-\frac{2}{3}+\frac{3}{2}=\frac{7}{12}$

step4. $A-B$ 계산하기

$A-B=\frac{17}{6}-\frac{7}{12}=\frac{34-7}{12}=\frac{27}{12}=\frac{9}{4}$

$\therefore ②$