수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. (가) 구하기

먼저 (가)에 들어갈 식을 찾아볼게요. 주어진 식에 $S_{2k-1}$을 대입하여 정리해 봅시다.

$b_{2k-1}=2\times \{\frac{(2k-1)(a_1+a_{2k-1})}{2}-(2k-1)a_{2k-1}\}$

중괄호 안의 식을 전개하면,

$=(2k-1)(a_1+a_{2k-1})-2(2k-1)a_{2k-1}$ 이 됩니다.

여기서 앞의 분수를 약분한 후, 뒤의 항에도 반드시 2를 곱해주는 것을 놓치기 쉽습니다.

이제 공통인수인 $(2k-1)$로 묶어내면,

$=(2k-1)\{(a_1+a_{2k-1})-2a_{2k-1}\}$

$=(2k-1)(a_1-a_{2k-1})$ 이 됩니다.

따라서 (가)에 알맞은 식은 $2k-1$ 이고, $f(k)=2k-1$ 이에요.

step2. $a_2$ 구하기

다음으로 문제에 주어진 조건인 $b_2=2$ 를 활용해 볼게요.

$n$이 짝수일 때 $b_n=(n-1)a_n$ 이므로, $n=2$를 대입해 봅니다.

$b_2=(2-1)a_2=a_2$ 가 되죠?

문제에서 $b_2=2$ 라고 했으므로, $a_2=2$ 라는 중요한 정보를 얻을 수 있어요.

step3. (나) 구하기

이제 (나)에 들어갈 식을 구해봅시다.

$b_{2k-1}+b_{2k}=(2k-1)(a_1-a_{2k-1})+(2k-1)a_{2k}$

여기서도 공통인수 $(2k-1)$로 묶어내면,

$=(2k-1)(a_1-a_{2k-1}+a_{2k})$ 가 됩니다.

등차수열에서 이웃한 두 항의 차이 $a_{2k}-a_{2k-1}$ 은 공차 $d$와 같다는 성질을 이용하는 것이 포인트입니다.

따라서 괄호 안의 식은 $a_1+d$ 가 되는데, 이는 등차수열의 두 번째 항인 $a_2$ 와 같아요.

step2에서 $a_2=2$ 임을 구했으므로 대입해주면,

$=(2k-1)\times 2=4k-2$ 가 됩니다.

따라서 (나)에 알맞은 식은 $4k-2$ 이고, $g(k)=4k-2$ 예요.

step4. (다) 구하기 및 최종 답 계산

마지막으로 (다)에 알맞은 수 $p$를 구하고 최종 답을 계산해 볼게요.

${\sum }_{n=1}^{20}{b}_n=(b_1+b_2)+(b_3+b_4)+\cdots +(b_{19}+b_{20})$

이는 ${\sum }_{k=1}^{10}(b_{2k-1}+b_{2k})$ 와 같이 표현할 수 있어요.

step3에서 구한 식을 대입하면,

${\sum }_{k=1}^{10}(4k-2)=4{\sum }_{k=1}^{10}k-{\sum }_{k=1}^{10}2$

$=4\times \frac{10\times 11}{2}-2\times 10$

$=220-20=200$ 이 됩니다.

따라서 (다)에 알맞은 수 $p=200$ 이에요.

최종적으로 우리가 구해야 할 값은 $f(2)+g(3)+p$ 이므로,

$f(2)=2(2)-1=3$

$g(3)=4(3)-2=10$

$3+10+200=213$ 이 정답이 됩니다.

step1. (가) 구하기

$b_{2k-1}=2\{\frac{(2k-1)(a_1+a_{2k-1})}{2}-(2k-1)a_{2k-1}\}$

$=(2k-1)(a_1+a_{2k-1})-2(2k-1)a_{2k-1}$

$=(2k-1)(a_1-a_{2k-1})$

$\therefore f(k)=2k-1$

step2. $a_2$ 구하기

$b_2=(2-1)a_2=a_2=2$

step3. (나) 구하기

$b_{2k-1}+b_{2k}=(2k-1)(a_1-a_{2k-1})+(2k-1)a_{2k}$

$=(2k-1)(a_1-a_{2k-1}+a_{2k})$

$=(2k-1)(a_1+d)$   --- $a_{2k}-a_{2k-1}=d$ 이므로

$=(2k-1)a_2$

$=2(2k-1)=4k-2$

$\therefore g(k)=4k-2$

step4. (다) 구하기 및 최종 답 계산

${\sum }_{n=1}^{20}{b}_n={\sum }_{k=1}^{10}(b_{2k-1}+b_{2k})={\sum }_{k=1}^{10}(4k-2)$

$=4\times \frac{10\times 11}{2}-20=200$

$\therefore p=200$

$f(2)+g(3)+p=3+10+200=213$