(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]

함수의 최댓값과 최솟값을 구하려면 그래프의 개형을 알아야 해요. 그래프가 어디서 올라가고 내려가는지 알기 위해 먼저 미분을 해서 도함수

f^{'} (x)

가 0이 되는 지점을 찾아야 합니다. 그리고 주어진 구간

[0, 3]

안에서만 생각해야 한다는 점을 잊지 마세요!

step1. 도함수 구하기 및 극값 후보 찾기

$f (x) = x^{3} - 12 x + k$ 를 미분하면 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12$ 가 됩니다.

$f^{'} (x) = 0$ 이 되는 $x$ 를 찾기 위해 인수분해를 하면 $3 (x^{2} - 4) = 3 (x - 2) (x + 2) = 0$ 이므로 $x = 2$ 또는 $x = - 2$ 입니다.

step2. 구간 내의 함숫값 구하기

$x = - 2$ 와 $x = 2$ 두 개의 값이 나왔지만, 우리가 확인해야 할 구간은 $[0, 3]$ 입니다. 따라서 $x = - 2$ 는 버리고, 구간 안에 있는 $x = 2$ 만 생각해야 해요.

이제 구간의 양 끝점인 $x = 0, 3$ 과 극값이 될 수 있는 $x = 2$ 에서의 함숫값을 각각 구해봅시다.

$f (0) = 0^{3} - 12 \cdot 0 + k = k$

$f (2) = 2^{3} - 12 \cdot 2 + k = 8 - 24 + k = k - 16$

$f (3) = 3^{3} - 12 \cdot 3 + k = 27 - 36 + k = k - 9$

step3. 최댓값을 이용하여 $k$ 구하기

닫힌구간에서의 최댓값과 최솟값은 양 끝값과 구간 내의 극값 중 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다.

우리가 구한 세 함숫값 $k, k - 16, k - 9$ 를 비교해 볼까요?

어떤 수 $k$ 에서 아무것도 빼지 않은 $k$ 가 가장 크고, 16을 뺀 $k - 16$ 이 가장 작겠죠?

따라서 최댓값은 $f (0) = k$ 입니다.

문제에서 최댓값이 40이라고 했으므로, $k = 40$ 이 됩니다.

step4. 최솟값 구하기

가장 작은 값은 $f (2) = k - 16$ 이었습니다.

방금 구한 $k = 40$ 을 대입하면, 최솟값은 $40 - 16 = 24$ 가 됩니다.

step1. 도함수 구하기 및 극값 후보 찾기

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 = 3 (x - 2) (x + 2) = 0$

$x = 2$ 또는 $x = - 2$

step2. 구간 내의 함숫값 구하기

--- 구간 $[0, 3]$ 에 속하는 $x = 2$ 와 양 끝점 $x = 0, 3$ 에서의 함숫값 비교

$f (0) = k$

$f (2) = 8 - 24 + k = k - 16$

$f (3) = 27 - 36 + k = k - 9$

step3. 최댓값을 이용하여 $k$ 구하기

--- 세 값 중 최댓값은 $k$ 이므로

$k = 40$

step4. 최솟값 구하기

--- 최솟값은 $k - 16$ 이므로

$40 - 16 = 24$

$∴ 24$

수학여정 - 문제 분석 리포트