수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 진수 조건 확인

로그부등식을 풀 때 진수 조건을 확인하지 않고 바로 식을 변형하면, 나중에 범위에 맞지 않는 해까지 포함하는 실수를 하기 쉽습니다.

${\log }_3(x+4)$ 에서 진수는 $x+4$ 이므로 $x+4>0⟹x>-4$ 입니다.

${\log }_{\frac{1}{3}}(x-2)$ 에서 진수는 $x-2$ 이므로 $x-2>0⟹x>2$ 입니다.

두 조건을 모두 만족해야 하므로 공통 범위는 $x>2$ 가 됩니다.

step2. 밑 통일하기

${\log }_{\frac{1}{3}}(x-2)$ 의 밑 $\frac{1}{3}$을 $3^{-1}$로 바꾸어 밑을 3으로 통일하는 것이 계산의 핵심입니다.

${\log }_{\frac{1}{3}}(x-2)={\log }_{3^{-1}}(x-2)=-{\log }_3(x-2)$ 로 변형할 수 있어요.

이를 원래 부등식에 대입하면 다음과 같이 정리됩니다.

${\log }_3(x+4)\le 3-{\log }_3(x-2)$

step3. 이차부등식 풀기

우변의 $-{\log }_3(x-2)$ 를 좌변으로 이항해볼까요?

${\log }_3(x+4)+{\log }_3(x-2)\le 3$

로그의 덧셈은 진수의 곱셈으로 합칠 수 있으므로:

${\log }_3((x+4)(x-2))\le 3$

여기서 우변의 3은 ${\log }_3{3}^3={\log }_{3}27$ 과 같습니다.

밑이 3으로 1보다 크기 때문에, 진수끼리 비교할 때 부등호의 방향은 그대로 유지됩니다.

$(x+4)(x-2)\le 27$

전개하면 $x^2+2x-8\le 27$ 이 되고,

$x^2+2x-35\le 0$ 으로 정리할 수 있습니다.

인수분해하면 $(x+7)(x-5)\le 0$ 이 되네요.

따라서 이 이차부등식의 해는 $-7\le x\le 5$ 입니다.

step4. 최종 정수 해 구하기

이제 step1에서 구한 진수 조건 $x>2$ 와 step3에서 구한 $-7\le x\le 5$ 의 공통 범위를 구해야 합니다.

두 범위를 겹쳐보면 $2<x\le 5$ 가 됩니다.

이 범위 안에 있는 정수 $x$는 3, 4, 5 입니다.

따라서 모든 정수 $x$의 값의 합은 $3+4+5=12$ 가 됩니다.

step1. 진수 조건

$x+4>0$ 이고 $x-2>0$

$\therefore x>2$

step2. 밑 통일

${\log }_3(x+4)\le 3+{\log }_{3^{-1}}(x-2)$

${\log }_3(x+4)\le 3-{\log }_3(x-2)$

step3. 이차부등식 풀기

${\log }_3(x+4)+{\log }_3(x-2)\le 3$

${\log }_3((x+4)(x-2))\le {\log }_{3}27$

$(x+4)(x-2)\le 27$   --- 밑이 1보다 크므로 부등호 방향 유지

$x^2+2x-8\le 27$

$x^2+2x-35\le 0$

$(x+7)(x-5)\le 0$

$\therefore -7\le x\le 5$

step4. 최종 정수 해 구하기

진수 조건과 공통 범위를 구하면

$2<x\le 5$

정수 $x=3,4,5$

$\therefore 3+4+5=12$