(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 수학 21번 풀이 해설 [이해용/실전용]

방정식의 실근 개수 함수 g(t)가 주어졌을 때는 반드시 y = |f(x)|의 그래프를 그려서 y = t 선을 위아래로 움직여봐야 해요. 특히 t가 0으로 갈 때 교점이 6개라는 것은, x축과 만나는 점이 3개여야 한다는 강력한 힌트랍니다.

step1. 조건 (가) 분석 및 a, b의 범위 파악

먼저 조건 (가)에서 ${lim}_{t \to 0 +} g (t) = 6$ 이라고 했어요. $t$ 가 0보다 살짝 클 때 $y = | f (x) |$ 와 $y = t$ 의 교점이 6개가 되려면, $f (x)$ 의 그래프가 $x$ 축과 서로 다른 3개의 점에서 만나야 해요. 그래야 접어 올렸을 때 V자 모양이 3개가 생겨서 선을 그었을 때 교점이 6개가 되거든요.

$f (x)$ 의 식을 보면 근이 될 수 있는 후보는 $x = a, 4, b$ 예요. 이 세 값이 모두 유효한 근이 되려면 각자의 정의된 구간 안에 들어가야 해요.

- $x = 4$ 는 $a \leq x \leq \frac{3}{2} a$ 구간에 있어야 하므로, $a < 4 < \frac{3}{2} a$ 가 되어 $\frac{8}{3} < a < 4$ 라는 범위를 얻을 수 있어요.

- $x = b$ 는 $x < a$ 또는 $x > \frac{3}{2} a$ 구간에 있어야 해요. 만약 $b > \frac{3}{2} a$ 라면 그래프를 그렸을 때 교점이 7개가 나와서 조건에 맞지 않아요. 따라서 $b < a$ 이어야만 교점이 정확히 6개가 됩니다.

step2. |f(x)|의 극댓값과 경계값 계산

이제 $y = | f (x) |$ 그래프의 봉우리(극댓값)와 끊어지는 경계점의 높이를 구해볼게요.

- $a \leq x \leq \frac{3}{2} a$ 구간에서 $f (x) = (x - a) (x - 4)$ 의 꼭짓점은 $x = \frac{a + 4}{2}$ 에 있어요. 이를 대입해 절댓값을 씌우면 극댓값 $M_{1} = (\frac{4 - a}{2})^{2}$ 이 됩니다.

- $x < a$ 구간에서 $f (x) = (x - a) (x - b)$ 의 꼭짓점은 $x = \frac{a + b}{2}$ 에 있고, 극댓값은 $M_{2} = (\frac{a - b}{2})^{2}$ 이 됩니다.

- 그래프가 끊어지는 $x = \frac{3}{2} a$ 에서의 값을 볼게요. 왼쪽에서 다가갈 때의 값은 $y_{1} = f (\frac{3}{2} a) = \frac{1}{2} a (\frac{3}{2} a - 4) = \frac{3}{4} a^{2} - 2 a$ 예요.

- 오른쪽에서 다가갈 때의 값은 $y_{2} = {lim}_{x \to \frac{3}{2} a +} f (x) = \frac{1}{2} a (\frac{3}{2} a - b) = \frac{3}{4} a^{2} - \frac{1}{2} a b$ 입니다. ( $b < 4$ 이므로 $y_{2} > y_{1}$ 이 성립해요.)

step3. 조건 (나)를 이용한 관계식 설정

조건 (나)에서 $g (t)$ 의 불연속점이 $α, β$ 딱 2개뿐이고, 그 사이에서 극한값이 1이라고 했어요.

$t$ 가 매우 클 때는 양쪽 끝으로 뻗어나가는 그래프 때문에 교점이 2개예요. 교점이 1개가 되려면 오른쪽 위로 뻗어나가는 그래프가 시작되는 $y_{2}$ 보다 $t$ 가 작아야 하고, 동시에 다른 모든 극댓값 봉우리( $M_{1}, M_{2}$ )보다는 $t$ 가 커야 해요.

만약 $M_{1}$ 이나 $M_{2}$ 가 $y_{1}$ 과 높이가 다르다면, $t$ 가 그 높이를 지날 때마다 교점의 개수가 변해서 불연속점이 3개 이상 생겨버려요.

따라서 불연속점을 2개( $y_{1}, y_{2}$ )로 유지하려면, 반드시 $M_{1} = M_{2} = y_{1}$ 이어야만 합니다.

step4. a와 b의 값 계산

이제 세운 식을 풀어볼게요.

먼저 $M_{1} = y_{1}$ 을 풀면:

$(\frac{4 - a}{2})^{2} = \frac{3}{4} a^{2} - 2 a$

양변을 전개하면 $4 - 2 a + \frac{a^{2}}{4} = \frac{3}{4} a^{2} - 2 a$ 가 됩니다.

정리하면 $\frac{a^{2}}{2} = 4$ 이므로 $a^{2} = 8$ 이에요. $a > 0$ 이므로 $a = 2 \sqrt{2}$ 를 얻습니다.

다음으로 $M_{2} = M_{1}$ 을 풀면:

$(\frac{a - b}{2})^{2} = (\frac{4 - a}{2})^{2}$

$b < a < 4$ 이므로 괄호 안의 값은 모두 양수예요. 따라서 $\frac{a - b}{2} = \frac{4 - a}{2}$ 가 성립합니다.

이를 정리하면 $a - b = 4 - a$ 가 되어 $b = 2 a - 4$ 가 됩니다.

$a = 2 \sqrt{2}$ 를 대입하면 $b = 4 \sqrt{2} - 4$ 가 됩니다.

step5. 최종 정답 도출

마지막으로 $f (0)$ 을 계산해 봅시다.

$x = 0$ 은 $a = 2 \sqrt{2}$ 보다 작으므로, 두 번째 식인 $f (x) = (x - a) (x - b)$ 에 대입해야 해요.

$f (0) = (- a) (- b) = a b$

$a b = 2 \sqrt{2} (4 \sqrt{2} - 4) = 16 - 8 \sqrt{2}$

문제에서 $f (0) = p + q \sqrt{2}$ 라고 했으므로, $p = 16$ , $q = - 8$ 이 됩니다.

따라서 우리가 구하고자 하는 $p^{2} + q^{2}$ 의 값은 $16^{2} + (- 8)^{2} = 256 + 64 = 320$ 입니다.

step1. 조건 (가) 분석 및 a, b의 범위 파악

${lim}_{t \to 0 +} g (t) = 6$ 이므로 $f (x) = 0$ 은 서로 다른 세 실근을 가져야 함.

근은 $x = a, 4, b$ 이므로 $a < 4 < \frac{3}{2} a ⟹ \frac{8}{3} < a < 4$ , $b < a$ .

step2. |f(x)|의 극댓값과 경계값 계산

$M_{1} = (\frac{4 - a}{2})^{2}$ , $M_{2} = (\frac{a - b}{2})^{2}$

$y_{1} = f (\frac{3}{2} a) = \frac{3}{4} a^{2} - 2 a$

$y_{2} = {lim}_{x \to \frac{3}{2} a +} f (x) = \frac{3}{4} a^{2} - \frac{1}{2} a b$

step3. 조건 (나)를 이용한 관계식 설정

불연속점이 2개이고 $lim g (t) = 1$ 이려면 극댓값이 경계값과 일치해야 함.

$∴ M_{1} = M_{2} = y_{1}$

step4. a와 b의 값 계산

$M_{1} = y_{1} ⟹ (\frac{4 - a}{2})^{2} = \frac{3}{4} a^{2} - 2 a ⟹ a^{2} = 8 ⟹ a = 2 \sqrt{2}$

$M_{2} = M_{1} ⟹ \frac{a - b}{2} = \frac{4 - a}{2} ⟹ b = 2 a - 4 = 4 \sqrt{2} - 4$

step5. 최종 정답 도출

$f (0) = a b = 2 \sqrt{2} (4 \sqrt{2} - 4) = 16 - 8 \sqrt{2}$

$p = 16, q = - 8 ⟹ p^{2} + q^{2} = 320$

$∴ 320$

(2027학년도) 2026년 7월 학력평가 고3 수학 21번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅱ · 함수의 연속 / 그래프 추론 / 방정식의 실근의 개수
난이도	최상

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