수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 첫 번째 식 정리하기

첫 번째 식 ${\log }_{\sqrt{a}}b=6$에서 밑인 $\sqrt{a}$는 $a^{\frac{1}{2}}$로 표현할 수 있습니다.

로그의 성질 ${\log }_{a^m}b=\frac{1}{m}{\log }_{a}b$를 이용하면 밑의 지수를 앞으로 꺼낼 수 있어요.

${\log }_{a^{\frac{1}{2}}}b=\frac{1}{\frac{1}{2}}{\log }_{a}b=2{\log }_{a}b=6$

양변을 2로 나누면 ${\log }_{a}b=3$이 됩니다.

로그의 정의에 의해 $b=a^3$이라는 중요한 관계식을 얻을 수 있어요.

step2. 두 번째 식 정리하고 ${\log }_{2}a$ 구하기

두 번째 식은 ${\log }_{4}a+{\log }_{2}b=14$입니다.

밑이 4와 2로 다르기 때문에 이 상태로는 바로 계산하기 어려워요. 밑을 2로 통일해 주어야 합니다.

${\log }_{4}a={\log }_{2^2}a=\frac{1}{2}{\log }_{2}a$로 바꿀 수 있죠.

이제 식은 $\frac{1}{2}{\log }_{2}a+{\log }_{2}b=14$가 됩니다.

여기에 step1에서 구한 $b=a^3$을 대입해 볼게요.

$\frac{1}{2}{\log }_{2}a+{\log }_2(a^3)=14$

${\log }_2(a^3)=3{\log }_{2}a$이므로,

$\frac{1}{2}{\log }_{2}a+3{\log }_{2}a=14$

$\frac{7}{2}{\log }_{2}a=14$

양변에 $\frac{2}{7}$를 곱하면 ${\log }_{2}a=14\times \frac{2}{7}=4$가 됩니다.

step3. 최종 정답 구하기

우리가 구해야 하는 값은 ${\log }_2\frac{b}{a}$입니다.

$b=a^3$을 대입하면, $\frac{b}{a}=\frac{a^3}{a}=a^2$이 되죠.

따라서 ${\log }_2\frac{b}{a}={\log }_2(a^2)=2{\log }_{2}a$가 됩니다.

step2에서 ${\log }_{2}a=4$임을 구했으니,

$2\times 4=8$이 최종 정답이 됩니다.

step1. 첫 번째 식 정리

${\log }_{\sqrt{a}}b=6$

${\log }_{a^{1/2}}b=2{\log }_{a}b=6$

${\log }_{a}b=3$

$b=a^3$

step2. 두 번째 식 정리 및 ${\log }_{2}a$ 계산

${\log }_{4}a+{\log }_{2}b=14$

$\frac{1}{2}{\log }_{2}a+{\log }_{2}b=14$   --- 밑을 2로 통일

$\frac{1}{2}{\log }_{2}a+{\log }_2(a^3)=14$   --- $b=a^3$ 대입

$\frac{1}{2}{\log }_{2}a+3{\log }_{2}a=14$

$\frac{7}{2}{\log }_{2}a=14$

${\log }_{2}a=4$

step3. 최종 정답 도출

${\log }_2\frac{b}{a}={\log }_2\frac{a^3}{a}={\log }_2{a}^2$

$=2{\log }_{2}a$

$=2\times 4=8$

$\therefore 8$