수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 시그마 식 분리하기

주어진 식 ${\sum }_{k=1}^5(k+3a_k)=27$을 시그마의 성질을 이용해 분리해 볼게요. 시그마는 덧셈을 기준으로 나눌 수 있고, 상수는 시그마 밖으로 꺼낼 수 있어요.

따라서 식을 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.

${\sum }_{k=1}^5(k+3a_k)={\sum }_{k=1}^{5}k+{\sum }_{k=1}^{5}3a_k={\sum }_{k=1}^{5}k+3{\sum }_{k=1}^5{a}_k$

시그마 기호 안의 덧셈과 상수배를 분리하여, 계산할 수 있는 부분과 구해야 하는 부분을 나누는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.

step2. 자연수의 합 계산하기

이제 분리된 식에서 ${\sum }_{k=1}^{5}k$의 값을 계산해 볼까요?

이것은 $1$부터 $5$까지의 자연수를 더하라는 뜻이에요.

공식 ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$을 사용하면,

${\sum }_{k=1}^{5}k=\frac{5\times 6}{2}=15$가 됩니다.

공식을 잊어버렸다면 당황하지 말고 $1+2+3+4+5=15$로 직접 더해서 구해도 전혀 문제없어요. 하지만 $k$ 대신 다른 숫자를 대입하는 실수를 하지 않도록 주의하세요.

step3. 구하고자 하는 값 찾기

step2에서 구한 값을 step1의 식에 대입해 봅시다.

$15+3{\sum }_{k=1}^5{a}_k=27$

이제 이 식은 ${\sum }_{k=1}^5{a}_k$를 미지수로 하는 간단한 일차방정식이 되었어요.

$15$를 우변으로 이항하면,

$3{\sum }_{k=1}^5{a}_k=27-15=12$

양변을 $3$으로 나누면,

${\sum }_{k=1}^5{a}_k=4$

따라서 우리가 구하고자 하는 값은 $4$가 됩니다.

step1. 시그마 식 분리하기

${\sum }_{k=1}^5(k+3a_k)={\sum }_{k=1}^{5}k+3{\sum }_{k=1}^5{a}_k=27$

step2. 자연수의 합 계산하기

${\sum }_{k=1}^{5}k=\frac{5\times 6}{2}=15$

step3. 구하고자 하는 값 찾기

$15+3{\sum }_{k=1}^5{a}_k=27$

$3{\sum }_{k=1}^5{a}_k=12$

$\therefore {\sum }_{k=1}^5{a}_k=4$