수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $h(x)$를 구간에 따라 나누기

먼저 절댓값 안의 식을 $D(x)=f(x)-g(x)$라고 둘게요.

$D(x)=(\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{2}a{x}^2+b)-(\frac{2}{3}{x}^3+a{x}^2)=-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{1}{2}a{x}^2+b$가 됩니다.

이제 $h(x)=f(x)+|D(x)|$를 $D(x)$의 부호에 따라 나누어 봅시다.

$D(x)\ge 0$일 때:

$h(x)=f(x)+D(x)=f(x)+f(x)-g(x)=2f(x)-g(x)$

계산하면 $h(x)=2(\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{2}a{x}^2+b)-(\frac{2}{3}{x}^3+a{x}^2)=-\frac{1}{3}{x}^3+2b$가 됩니다.

$D(x)<0$일 때:

$h(x)=f(x)-D(x)=f(x)-(f(x)-g(x))=g(x)$

따라서 $h(x)=\frac{2}{3}{x}^3+a{x}^2$이 됩니다.

step2. 미분가능성 조건(가) 적용하기

조건 (가)에서 $h(x)$는 $x=-1$에서만 미분가능하지 않다고 했어요.

$h(x)$는 $D(x)=0$이 되는 경계에서 함수식이 바뀌는데, 두 함수의 미분계수가 일치하지 않으면 미분불가능해집니다.

다항함수의 차이로 만들어진 절댓값 함수가 한 점에서만 미분불가능하려면, $D(x)=0$이 그 점에서 단일근을 갖고 나머지 실근은 중근(또는 허근)이어야 합니다.

따라서 $D(-1)=0$이어야 하므로 대입해 보면,

$-\frac{1}{2}(-1{)}^3-\frac{1}{2}a(-1{)}^2+b=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}a+b=0$이 되어 $2b=a-1$이라는 관계식을 얻습니다.

이제 $b$를 $a$로 바꾸어 $D(x)$를 다시 써볼게요.

$D(x)=-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{1}{2}a{x}^2+\frac{a-1}{2}=-\frac{1}{2}(x^3+a{x}^2-a+1)$

조립제법을 이용해 $(x+1)$로 인수분해하면,

$D(x)=-\frac{1}{2}(x+1)(x^2+(a-1)x-a+1)$이 됩니다.

$x=-1$ 외에 다른 곳에서 x축을 뚫고 지나가면 안 되므로, 뒤의 이차식 $x^2+(a-1)x-a+1=0$은 실근이 없거나 $x=-1$을 중근으로 가져야 해요.

판별식 $\Delta =(a-1{)}^2-4(-a+1)=(a-1)(a+3)\le 0$을 풀면 $-3\le a\le 1$이 됩니다.

여기서 $a=1$이면 $D(x)=-\frac{1}{2}(x+1)x^2$이 되어 $x=0$에서 중근을 갖게 되는데, 이 경우 다음 단계의 극대 조건을 만족하지 못하므로 $a=1$은 제외해야 합니다.

따라서 일단 $a$의 범위는 $-3\le a<1$입니다.

step3. 극대 조건(나) 적용하기

조건 (나)에서 $h(x)$는 $x=0$에서 극대라고 했어요.

$x>-1$인 구간에서는 $D(x)<0$이므로 $h(x)=\frac{2}{3}{x}^3+a{x}^2$입니다.

이 구간에서 도함수를 구해보면 $h^{\prime }(x)=2x^2+2ax=2x(x+a)$가 됩니다.

$h^{\prime }(x)=0$이 되는 곳은 $x=0$과 $x=-a$네요.

$x=0$에서 극대가 되려면 $x=0$ 좌우에서 $h^{\prime }(x)$의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌어야 해요.

이차함수 $y=2x(x+a)$는 아래로 볼록한 포물선이므로, $0$에서 양 $\to$ 음으로 바뀌려면 다른 한 근인 $-a$가 $0$보다 커야 합니다.

즉, $-a>0$이므로 $a<0$이어야 해요.

앞서 구한 범위와 합치면 $a$의 범위는 $-3\le a<0$으로 좁혀집니다.

step4. 극소 조건과 부등식 풀기

이제 극소가 되는 $\alpha$와 $\beta$를 찾아볼게요.

$x>-1$ 구간에서 $h^{\prime }(x)$는 $x=-a$에서 음 $\to$ 양으로 바뀌므로 $x=-a$에서 극소입니다. 즉, $\beta =-a$입니다.

그럼 $\alpha$는 어디일까요?

$x<-1$ 구간에서는 $D(x)>0$이므로 $h(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+2b$이고, $h^{\prime }(x)=-x^2$입니다.

이 구간에서 $h^{\prime }(x)$는 항상 음수이므로 함수는 계속 감소합니다.

그리고 $x=-1$을 지나면서 $h^{\prime }(x)=2x(x+a)$를 따르게 되는데, $a<0$이므로 $-1<x<0$ 구간에서 $h^{\prime }(x)$는 양수(+)가 되어 함수가 증가하기 시작합니다.

따라서 감소하다가 증가하는 $x=-1$이 바로 또 다른 극소점입니다. 즉, $\alpha =-1$입니다.

이제 문제의 조건 $h(\alpha )\ge h(\beta )$를 풀어봅시다.

$h(-1)=-\frac{1}{3}(-1{)}^3+2b=\frac{1}{3}+a-1=a-\frac{2}{3}$

$h(-a)=\frac{2}{3}(-a{)}^3+a(-a{)}^2=-\frac{2}{3}{a}^3+a^3=\frac{1}{3}{a}^3$

$a-\frac{2}{3}\ge \frac{1}{3}{a}^3$ 양변에 3을 곱하고 정리하면,

$a^3-3a+2\le 0$이 됩니다.

조립제법으로 인수분해하면 $(a-1{)}^2(a+2)\le 0$이에요.

우리가 찾은 범위에서 $a<0$이므로 $(a-1{)}^2$은 무조건 양수입니다.

따라서 부등식이 성립하려면 $a+2\le 0$이어야 하므로 $a\le -2$가 됩니다.

최종적으로 $a$의 범위는 $-3\le a\le -2$로 확정됩니다.

step5. $a+b$의 최댓값과 최솟값 구하기

우리가 구해야 할 것은 $a+b$의 최댓값과 최솟값입니다.

step2에서 찾은 $2b=a-1$을 이용하면 $b=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$입니다.

따라서 $a+b=a+(\frac{1}{2}a-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}$가 됩니다.

$a$의 범위가 $-3\le a\le -2$이므로,

$a=-2$일 때 최댓값 $M=\frac{3}{2}(-2)-\frac{1}{2}=-3-0.5=-3.5=-\frac{7}{2}$

$a=-3$일 때 최솟값 $m=\frac{3}{2}(-3)-\frac{1}{2}=-4.5-0.5=-5$

마지막으로 $M-m$을 계산하면,

$-\frac{7}{2}-(-5)=-3.5+5=1.5=\frac{3}{2}$가 됩니다.

step1. 구간 나누기

$D(x)=f(x)-g(x)=-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{1}{2}a{x}^2+b$

$D(x)\ge 0⟹h(x)=2f(x)-g(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+2b$

$D(x)<0⟹h(x)=g(x)=\frac{2}{3}{x}^3+a{x}^2$

step2. 미분가능성 조건

--- $x=-1$에서만 미분불가능하므로 $D(-1)=0$이고 단일근이어야 함

$D(-1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}a+b=0⟹2b=a-1$

$D(x)=-\frac{1}{2}(x+1)(x^2+(a-1)x-a+1)$

--- 나머지 근은 없거나 중근이어야 하므로 판별식 $\le 0$

$\Delta =(a-1{)}^2-4(-a+1)=(a-1)(a+3)\le 0⟹-3\le a<1$   --- $a=1$ 제외

step3. 극대 조건

$x>-1$에서 $h^{\prime }(x)=2x^2+2ax=2x(x+a)$

--- $x=0$에서 극대이려면 $h^{\prime }(x)$ 부호가 $+$에서 $-$로 바뀌어야 함

$-a>0⟹a<0$

$\therefore -3\le a<0$

step4. 극소 조건

$x>-1$에서 극소는 $x=-a$   --- $\beta =-a$

$x<-1$에서 $h^{\prime }(x)=-x^2<0$   --- 감소

--- $x=-1$ 좌우에서 감소 $\to$ 증가로 바뀌므로 극소

$\alpha =-1$

$h(-1)\ge h(-a)⟹a-\frac{2}{3}\ge \frac{1}{3}{a}^3$

$a^3-3a+2\le 0⟹(a-1{)}^2(a+2)\le 0$

$a<0$이므로 $a+2\le 0⟹a\le -2$

$\therefore -3\le a\le -2$

step5. 최댓값, 최솟값

$a+b=\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}$

$M=\frac{3}{2}(-2)-\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$

$m=\frac{3}{2}(-3)-\frac{1}{2}=-5$

$\therefore M-m=\frac{3}{2}$