수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 첫 번째 조건식을 첫째항 $a$와 공비 $r$로 표현하여 간단히 정리합니다.

등비수열의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 해볼게요. 문제에서 모든 항이 양수라고 했으므로 $a>0$, $r>0$이라는 것을 알 수 있어요.

첫 번째 조건식인 $a_5\times (a_6+a_7)=20a_{10}$의 모든 항을 $a$와 $r$로 바꾸어 써봅시다.

$a_5=a{r}^4$

$a_6=a{r}^5$

$a_7=a{r}^6$

$a_{10}=a{r}^9$

이것들을 원래 식에 대입하면,

$a{r}^4\times (a{r}^5+a{r}^6)=20a{r}^9$이 됩니다.

좌변의 괄호를 풀어 정리해볼까요?

$a^2{r}^9+a^2{r}^{10}=20a{r}^9$

좌변을 $a^2{r}^9$으로 묶어주면,

$a^2{r}^9(1+r)=20a{r}^9$이 되죠.

여기서 $a>0,r>0$이므로 양변을 $a{r}^9$으로 과감하게 나눌 수 있어요.

양변을 $a{r}^9$으로 나누면 아주 간단한 식이 나옵니다.

$a(1+r)=20$ --- (식 1)

step2. 두 번째 조건식인 $S_4$를 인수분해하여 step1에서 얻은 식을 대입합니다.

이제 두 번째 조건인 $S_4=65$를 이용할 차례예요.

등비수열의 합 공식에 따라 $S_4=\frac{a(r^4-1)}{r-1}$로 쓸 수 있죠.

$S_4$의 공식을 무작정 전개하려고 하면 계산이 꼬일 수 있어요. 분자의 $r^4-1$을 합차 공식으로 인수분해하여 앞서 구한 $a(1+r)$ 모양을 찾아내는 것이 중요합니다.

분자 $r^4-1$을 합차 공식으로 차근차근 분해해볼게요.

$r^4-1=(r^2-1)(r^2+1)=(r-1)(r+1)(r^2+1)$

이것을 합 공식에 다시 넣어보면,

$S_4=\frac{a(r-1)(r+1)(r^2+1)}{r-1}$이 됩니다.

분모와 분자에 있는 $(r-1)$을 약분하면,

$a(r+1)(r^2+1)=65$가 남게 되죠.

어라? 여기서 $a(r+1)$은 우리가 step1에서 구한 (식 1)의 모양과 똑같네요!

$a(r+1)=20$을 이 식에 쏙 대입해줍니다.

$20(r^2+1)=65$

step3. 공비 $r$과 첫째항 $a$를 구한 뒤, 최종적으로 $a_2$의 값을 계산합니다.

이제 $r$을 구해볼까요?

$20(r^2+1)=65$의 양변을 20으로 나누면,

$r^2+1=\frac{65}{20}=\frac{13}{4}$이 됩니다.

$r^2=\frac{13}{4}-1=\frac{9}{4}$이죠.

모든 항이 양수이므로 $r>0$이어야 해요. 따라서 $r=\frac{3}{2}$입니다.

구해낸 $r=\frac{3}{2}$을 다시 (식 1)인 $a(1+r)=20$에 대입해서 첫째항 $a$를 찾아봅시다.

$a(1+\frac{3}{2})=20$

$a\times \frac{5}{2}=20$

$a=20\times \frac{2}{5}=8$

드디어 첫째항 $a=8$과 공비 $r=\frac{3}{2}$을 모두 찾았네요!

우리가 최종적으로 구해야 하는 것은 제2항인 $a_2$입니다.

$a_2=ar=8\times \frac{3}{2}=12$

따라서 정답은 12가 됩니다.

step1. 첫 번째 조건식을 첫째항 $a$와 공비 $r$로 표현하여 간단히 정리합니다.

$a{r}^4(a{r}^5+a{r}^6)=20a{r}^9$

$a^2{r}^9(1+r)=20a{r}^9$

$a(1+r)=20$   --- $a>0,r>0$이므로 양변을 $a{r}^9$으로 나눔

step2. 두 번째 조건식인 $S_4$를 인수분해하여 step1에서 얻은 식을 대입합니다.

$S_4=\frac{a(r^4-1)}{r-1}=65$

$\frac{a(r^2-1)(r^2+1)}{r-1}=65$

$a(r+1)(r^2+1)=65$

$20(r^2+1)=65$   --- $a(1+r)=20$을 대입

$r^2+1=\frac{13}{4}$

$r^2=\frac{9}{4}$

$r=\frac{3}{2}$   --- $r>0$이므로

step3. 공비 $r$과 첫째항 $a$를 구한 뒤, 최종적으로 $a_2$의 값을 계산합니다.

$a(1+\frac{3}{2})=20⟹a=8$

$\therefore a_2=ar=8\times \frac{3}{2}=12$