수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 극한식의 의미 파악하기

문제에서 구하라고 한 식 ${lim}_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$를 잘 살펴보세요. 이 형태는 미분계수의 정의와 정확히 일치합니다. 미분계수의 정의에 따라 이 극한식은 함수 $f(x)$의 $x=3$에서의 미분계수인 $f^{\prime }(3)$을 의미합니다. 이 식에 $f(3+h)$를 직접 대입해서 전개하여 극한을 계산해도 답은 나오지만, 계산이 복잡해져서 실수하기 쉽습니다.

step2. 도함수 $f^{\prime }(x)$ 구하기

이제 $f^{\prime }(3)$을 구하기 위해 먼저 함수 $f(x)$의 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구해볼게요. 주어진 함수는 $f(x)=x^2+3x-1$입니다. 다항함수의 미분법 공식을 적용하면, $x^2$을 미분하면 $2x$가 되고, $3x$를 미분하면 $3$이 되며, 상수 $-1$을 미분하면 $0$이 됩니다. 따라서 도함수는 $f^{\prime }(x)=2x+3$이 됩니다.

step3. $f^{\prime }(3)$ 계산하기

마지막으로 구한 도함수 $f^{\prime }(x)=2x+3$에 $x=3$을 대입하여 $f^{\prime }(3)$의 값을 계산합니다. $f^{\prime }(3)=2\times 3+3=6+3=9$가 됩니다. 따라서 우리가 구하고자 하는 극한값은 9입니다.

step1. 극한식의 의미 파악

${lim}_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=f^{\prime }(3)$   --- 미분계수의 정의

step2. 도함수 $f^{\prime }(x)$ 구하기

$f(x)=x^2+3x-1$

$f^{\prime }(x)=2x+3$

step3. $f^{\prime }(3)$ 계산하기

$f^{\prime }(3)=2(3)+3=9$

$\therefore 9$