수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 경계점 파악하기

함수 $f(x)$는 $x<1$일 때 $2x+a$, $x\ge 1$일 때 $x^2-ax+11$로 정의되어 있어요. 각각은 다항함수이므로 주어진 구간에서 항상 연속이에요. 따라서 함수 $f(x)$가 실수 전체에서 연속이 되려면, 함수식이 바뀌는 경계점인 $x=1$에서만 연속이면 됩니다.

step2. 좌극한과 우극한 계산하기

$x=1$에서 연속이려면 ${lim}_{x\to 1^{-}}f(x)={lim}_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$을 만족해야 해요.

먼저 좌극한을 구해볼까요? $x$가 1보다 작으면서 1에 가까워지므로 $x<1$일 때의 식을 사용해요.

${lim}_{x\to 1^{-}}f(x)={lim}_{x\to 1^{-}}(2x+a)=2(1)+a=2+a$

좌극한을 구할 때 $x\ge 1$인 식에 대입하지 않도록 주의하세요. $x\to 1^{-}$는 $x$가 1보다 작은 쪽에서 접근한다는 뜻이랍니다.

다음으로 우극한을 구해볼게요. $x$가 1보다 크면서 1에 가까워지므로 $x\ge 1$일 때의 식을 사용해요.

${lim}_{x\to 1^{+}}f(x)={lim}_{x\to 1^{+}}(x^2-ax+11)=1^2-a(1)+11=12-a$

함숫값 $f(1)$도 $x\ge 1$인 식에 대입하므로 $12-a$가 되어 우극한과 같아요.

step3. 상수 $a$ 구하기

이제 좌극한과 우극한이 같다고 식을 세워볼게요.

$2+a=12-a$

이 방정식을 풀면,

$2a=10$

$a=5$

따라서 우리가 구하는 상수 $a$의 값은 5가 됩니다.

step1. 경계점 파악

$f(x)$가 실수 전체에서 연속이려면 $x=1$에서 연속이어야 함.

step2. 좌극한과 우극한 계산

${lim}_{x\to 1^{-}}f(x)={lim}_{x\to 1^{-}}(2x+a)=2+a$

${lim}_{x\to 1^{+}}f(x)={lim}_{x\to 1^{+}}(x^2-ax+11)=12-a$

step3. 상수 $a$ 구하기

$2+a=12-a$   --- (좌극한 = 우극한이므로)

$2a=10$

$\therefore a=5$