수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 정적분 식 합치기

주어진 식은 ${\int }_0^{2}f(x)dx=\frac{40}{3}+{\int }_0^{-2}f(x)dx$ 입니다.

우변의 정적분을 좌변으로 이항해 볼게요.

${\int }_0^{2}f(x)dx-{\int }_0^{-2}f(x)dx=\frac{40}{3}$

여기서 ${\int }_0^{-2}f(x)dx$를 그대로 두고 계산하면 복잡해지기 쉽습니다.

정적분의 성질에 의해 아래끝과 위끝을 바꾸면 부호가 바뀌므로, $-{\int }_0^{-2}f(x)dx={\int }_{-2}^{0}f(x)dx$ 가 됩니다.

이것을 대입하면,

${\int }_{-2}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{2}f(x)dx=\frac{40}{3}$

구간이 $-2$에서 $0$, 그리고 $0$에서 $2$로 이어지므로 하나로 합칠 수 있어요.

${\int }_{-2}^{2}f(x)dx=\frac{40}{3}$

step2. 대칭 구간에서의 정적분 성질 적용

이제 $f(x)=x^3+x^2+a$를 대입해 봅시다.

${\int }_{-2}^2(x^3+x^2+a)dx=\frac{40}{3}$

적분 구간이 $[-2,2]$로 원점에 대해 대칭입니다.

적분 구간이 대칭일 때, 홀수 차수 항(기함수)의 정적분은 0이 되고, 짝수 차수 항과 상수항(우함수)은 0부터 2까지 적분한 값의 2배가 됩니다.

따라서 $x^3$의 적분은 0이 되어 사라지고, 식은 다음과 같이 간단해집니다.

$2{\int }_0^2(x^2+a)dx=\frac{40}{3}$

양변을 2로 나누면,

${\int }_0^2(x^2+a)dx=\frac{20}{3}$

step3. 정적분 계산 및 $a$ 구하기

이제 남은 정적분을 계산해 볼게요.

${[\frac{1}{3}{x}^3+ax]}_0^2=\frac{20}{3}$

$x=2$를 대입하면,

$\frac{8}{3}+2a=\frac{20}{3}$

양변에서 $\frac{8}{3}$을 빼주면,

$2a=\frac{12}{3}=4$

따라서 $a=2$ 가 됩니다.

step1. 정적분 식 합치기

${\int }_0^{2}f(x)dx-{\int }_0^{-2}f(x)dx=\frac{40}{3}$

${\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_{-2}^{0}f(x)dx=\frac{40}{3}$

${\int }_{-2}^{2}f(x)dx=\frac{40}{3}$

step2. 대칭 구간에서의 정적분 성질 적용

${\int }_{-2}^2(x^3+x^2+a)dx=\frac{40}{3}$

--- 기함수 $x^3$의 적분은 0이므로

$2{\int }_0^2(x^2+a)dx=\frac{40}{3}$

${\int }_0^2(x^2+a)dx=\frac{20}{3}$

step3. 정적분 계산 및 $a$ 구하기

${[\frac{1}{3}{x}^3+ax]}_0^2=\frac{20}{3}$

$\frac{8}{3}+2a=\frac{20}{3}$

$2a=4$

$\therefore a=2$