수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 도함수 구하기

함수 $f(x)=2x^3-7x^2+1$을 미분하여 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

$f^{\prime }(x)=6x^2-14x$

step2. 접선의 방정식 세우기

점 $(t,f(t))$에서의 접선의 기울기는 $f^{\prime }(t)=6t^2-14t$입니다.

따라서 접선의 방정식은 다음과 같이 세울 수 있어요.

$y-f(t)=f^{\prime }(t)(x-t)$

$y-(2t^3-7t^2+1)=(6t^2-14t)(x-t)$

접점의 좌표가 문자로 주어졌더라도, 당황하지 않고 배운 공식 그대로 접선의 방정식을 세우는 것이 중요합니다.

step3. 지나는 점 대입하여 방정식 풀기

이 접선이 점 $(0,1)$을 지난다고 했으므로, $x=0,y=1$을 대입해 봅시다.

$1-(2t^3-7t^2+1)=(6t^2-14t)(0-t)$

좌변을 정리하면:

$1-2t^3+7t^2-1=-2t^3+7t^2$

우변을 정리하면:

$(6t^2-14t)(-t)=-6t^3+14t^2$

이제 양변을 같다고 놓고 방정식을 풀어볼게요.

$-2t^3+7t^2=-6t^3+14t^2$

모든 항을 좌변으로 이항하면:

$4t^3-7t^2=0$

$t^2$으로 묶어주면:

$t^2(4t-7)=0$

따라서 $t=0$ 또는 $t=\frac{7}{4}$가 나옵니다.

step4. 양수 $t$ 찾기

문제에서 양수 $t$의 값을 구하라고 했으므로, $t=0$은 제외해야 합니다.

따라서 조건을 만족하는 $t$의 값은 $\frac{7}{4}$입니다.

step1. 도함수 구하기

$f(x)=2x^3-7x^2+1$

$f^{\prime }(x)=6x^2-14x$

step2. 접선의 방정식 세우기

$y-(2t^3-7t^2+1)=(6t^2-14t)(x-t)$

step3. 지나는 점 대입하여 방정식 풀기

--- $(0,1)$을 지나므로 대입

$1-(2t^3-7t^2+1)=(6t^2-14t)(0-t)$

$-2t^3+7t^2=-6t^3+14t^2$

$4t^3-7t^2=0$

$t^2(4t-7)=0$

$t=0$ 또는 $t=\frac{7}{4}$

step4. 양수 $t$ 찾기

--- $t>0$이므로

$t=\frac{7}{4}$

$\therefore ⑤$