수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. ㄱ 보기 확인하기

$k=0$일 때 속도 함수는 $v(t)=3t^2-6t$가 됩니다.

원점($x=0$)을 출발했으므로 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$는 속도를 $0$부터 $t$까지 정적분하여 구할 수 있어요.

$x(t)={\int }_0^t(3s^2-6s)ds=[s^3-3s^2{]}_0^t=t^3-3t^2$

이제 $t=1$일 때의 위치를 구해보면,

$x(1)=1^3-3(1{)}^2=1-3=-2$가 됩니다.

따라서 ㄱ은 옳은 설명입니다.

step2. ㄴ 보기 확인하기

$k=2$일 때 속도 함수는 $v(t)=3t^2-6t+2$입니다.

여기서 위치 변화량과 움직인 거리가 같다는 말의 숨은 의미를 놓치기 쉽다는 점을 기억해야 해요.

위치 변화량은 그냥 정적분한 값이고, 움직인 거리는 절댓값을 씌워 정적분한 값이에요.

두 값이 같으려면 주어진 시간($t=0$에서 $t=3$) 동안 속도 $v(t)$가 항상 $0$ 이상이어야 합니다. 즉, 뒤로(음의 방향으로) 가는 구간이 없어야 한다는 뜻이죠.

$v(t)$의 그래프가 어떻게 생겼는지 완전제곱식으로 고쳐볼까요?

$v(t)=3(t^2-2t)+2=3(t-1{)}^2-1$

이 식을 보면 $t=1$일 때 최솟값 $-1$을 가집니다. 즉, $t=1$ 근처에서는 속도가 음수라는 뜻이에요.

속도가 음수인 구간이 존재하므로, 움직인 거리는 위치 변화량보다 무조건 커지게 됩니다.

따라서 ㄴ은 틀린 설명입니다.

step3. ㄷ 보기 확인하기

$k=-9$일 때 속도 함수는 $v(t)=3t^2-6t-9$입니다.

움직인 거리를 구해야 하니, 속도가 $0$이 되는 지점을 찾아 구간을 나누어야 해요.

$v(t)=3(t^2-2t-3)=3(t-3)(t+1)=0$

$t\ge 0$이므로 $t=3$일 때 속도가 $0$이 됩니다.

$0$부터 $3$까지는 $v(t)<0$ (뒤로 이동)이고, $3$부터 $4$까지는 $v(t)>0$ (앞으로 이동)이네요.

따라서 $t=0$에서 $t=4$까지 움직인 거리는 다음과 같이 계산합니다.

${\int }_0^4|v(t)|dt={\int }_0^3-(3t^2-6t-9)dt+{\int }_3^4(3t^2-6t-9)dt$

먼저 부정적분 $X(t)=t^3-3t^2-9t$를 구해두면 계산이 편해요.

$0$부터 $3$까지의 정적분: $X(3)-X(0)=(27-27-27)-0=-27$

$3$부터 $4$까지의 정적분: $X(4)-X(3)=(64-48-36)-(-27)=-20+27=7$

움직인 거리는 절댓값의 합이므로, $|-27|+|7|=27+7=34$가 됩니다.

따라서 ㄷ은 옳은 설명입니다.

결과적으로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ입니다.

step1. ㄱ 보기

$k=0⟹v(t)=3t^2-6t$

$x(1)={\int }_0^1(3t^2-6t)dt=[t^3-3t^2{]}_0^1=1-3=-2$   --- 참

step2. ㄴ 보기

$k=2⟹v(t)=3t^2-6t+2=3(t-1{)}^2-1$

--- 움직인 거리와 위치 변화량이 같으려면 $v(t)\ge 0$이어야 함

$v(1)=-1<0$이므로 구간 내에 $v(t)<0$인 부분이 존재함.   --- 거짓

step3. ㄷ 보기

$k=-9⟹v(t)=3t^2-6t-9=3(t-3)(t+1)$

$t=3$에서 $v(t)$의 부호가 바뀜.

${\int }_0^4|v(t)|dt={\int }_0^3-v(t)dt+{\int }_3^{4}v(t)dt$

$\int v(t)dt=t^3-3t^2-9t=X(t)$라 하면,

${\int }_0^{3}v(t)dt=X(3)-X(0)=-27$

${\int }_3^{4}v(t)dt=X(4)-X(3)=-20-(-27)=7$

$\therefore$ 움직인 거리 $=|-27|+7=34$   --- 참

$\therefore$ 정답은 ㄱ, ㄷ