수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 사인법칙으로 $\sin B$ 구하기

먼저 $△ABC$에서 외접원의 반지름 $R=\frac{16\sqrt{15}}{15}$가 주어졌어요. 외접원의 반지름이 등장하면 사인법칙을 떠올리는 것이 아주 중요해요.

$△ABC$에서 $\angle B$와 마주보는 변은 $\overline{AC}$이고 그 길이는 8입니다.

사인법칙에 의해 $\frac{\overline{AC}}{\sin B}=2R$이 성립하므로,

$\frac{8}{\sin B}=2\times \frac{16\sqrt{15}}{15}=\frac{32\sqrt{15}}{15}$가 됩니다.

이 식을 정리하면 $\sin B=\frac{8\times 15}{32\sqrt{15}}=\frac{120}{32\sqrt{15}}=\frac{15}{4\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$를 얻을 수 있어요.

step2. 코사인법칙으로 $\overline{BC}$ 구하기

이제 $\overline{BC}$의 길이를 구하기 위해 코사인법칙을 사용할 거예요. 그러려면 $\cos B$의 값이 필요하죠.

문제에서 $\angle CBA>\frac{\pi }{2}$, 즉 $\angle B$가 둔각이라고 했어요. 여기서 $\cos B$의 부호가 음수가 된다는 점을 놓치기 쉽습니다.

$\cos B=-\sqrt{1-{\sin }^{2}B}=-\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2}=-\sqrt{1-\frac{15}{16}}=-\frac{1}{4}$이 됩니다.

이제 $△ABC$에서 코사인법칙을 적용해볼까요?

${\overline{AC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{BC}}^2-2·\overline{AB}·\overline{BC}·\cos B$

$8^2=4^2+{\overline{BC}}^2-2·4·\overline{BC}·(-\frac{1}{4})$

$64=16+{\overline{BC}}^2+2\overline{BC}$

${\overline{BC}}^2+2\overline{BC}-48=0$

이 이차방정식을 인수분해하면 $(\overline{BC}+8)(\overline{BC}-6)=0$이 되고, 길이는 양수여야 하므로 $\overline{BC}=6$이 됩니다.

step3. 중점연결정리로 $\overline{MN}$ 구하기

점 M과 N은 각각 $\overline{AB}$와 $\overline{AC}$의 중점이에요.

삼각형의 중점연결정리에 의해, 두 중점을 연결한 선분 $\overline{MN}$의 길이는 밑변 $\overline{BC}$의 길이의 절반이 됩니다.

따라서 $\overline{MN}=\frac{1}{2}\overline{BC}=\frac{1}{2}\times 6=3$이 됩니다.

step4. 원의 성질을 이용하여 $△DMN$의 세 변의 길이 구하기

이제 시선을 두 원으로 옮겨볼게요. 원 $C_1$은 중심이 M이고 점 A를 지나므로, 반지름은 $\overline{MA}=2$입니다.

마찬가지로 원 $C_2$는 중심이 N이고 점 A를 지나므로, 반지름은 $\overline{NA}=4$입니다.

점 D는 두 원의 교점이에요. 원의 중심에서 원 위의 점까지의 거리는 항상 반지름과 같다는 원의 성질을 이용하면,

$\overline{MD}$는 원 $C_1$의 반지름이므로 $\overline{MD}=2$이고,

$\overline{ND}$는 원 $C_2$의 반지름이므로 $\overline{ND}=4$가 됩니다.

결과적으로 $△DMN$의 세 변의 길이는 $\overline{DM}=2,\overline{DN}=4,\overline{MN}=3$임을 알 수 있어요.

step5. $△DMN$에서 $\overline{MH}$ 구하기

우리가 구해야 하는 것은 점 M에서 선분 DN에 내린 수선의 길이 $\overline{MH}$입니다.

직각삼각형 DMH를 보면, $\overline{MH}=\overline{DM}\sin (\angle MDN)$으로 구할 수 있어요. 따라서 $\angle MDN$의 사인값을 알아내야 합니다.

먼저 $△DMN$에서 코사인법칙을 사용하여 $\cos (\angle MDN)$을 구해볼게요.

$\cos (\angle MDN)=\frac{{\overline{DM}}^2+{\overline{DN}}^2-{\overline{MN}}^2}{2·\overline{DM}·\overline{DN}}=\frac{2^2+4^2-3^2}{2·2·4}=\frac{4+16-9}{16}=\frac{11}{16}$입니다.

이제 사인값을 구하면,

$\sin (\angle MDN)=\sqrt{1-{\cos }^2(\angle MDN)}=\sqrt{1-{\left(\frac{11}{16}\right)}^2}=\sqrt{\frac{256-121}{256}}=\frac{\sqrt{135}}{16}=\frac{3\sqrt{15}}{16}$가 됩니다.

마지막으로 직각삼각형 DMH에서,

$\overline{MH}=\overline{DM}\sin (\angle MDN)=2\times \frac{3\sqrt{15}}{16}=\frac{3\sqrt{15}}{8}$이 됩니다.

정말 잘 따라오셨어요!

step1. 사인법칙으로 $\sin B$ 구하기

$\frac{8}{\sin B}=2\times \frac{16\sqrt{15}}{15}$

$\sin B=\frac{\sqrt{15}}{4}$

step2. 코사인법칙으로 $\overline{BC}$ 구하기

$\cos B=-\frac{1}{4}$   --- $\angle B>\frac{\pi }{2}$이므로

$8^2=4^2+{\overline{BC}}^2-2·4·\overline{BC}·(-\frac{1}{4})$

${\overline{BC}}^2+2\overline{BC}-48=0$

$\overline{BC}=6$   --- $\overline{BC}>0$이므로

step3. 중점연결정리로 $\overline{MN}$ 구하기

$\overline{MN}=\frac{1}{2}\overline{BC}=3$

step4. 원의 성질을 이용하여 $△DMN$의 세 변의 길이 구하기

$\overline{DM}=\overline{AM}=2$

$\overline{DN}=\overline{AN}=4$

step5. $△DMN$에서 $\overline{MH}$ 구하기

$\cos (\angle MDN)=\frac{2^2+4^2-3^2}{2·2·4}=\frac{11}{16}$

$\sin (\angle MDN)=\sqrt{1-{\left(\frac{11}{16}\right)}^2}=\frac{3\sqrt{15}}{16}$

$\overline{MH}=\overline{DM}\sin (\angle MDN)=2·\frac{3\sqrt{15}}{16}=\frac{3\sqrt{15}}{8}$

$\therefore ④$