수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $x>-8$ 구간 분석

$x>-8$ 일 때 $f(x)=-3^{x-3}+8$ 입니다. 이 함수는 밑이 3인 지수함수에 마이너스가 붙어 있으므로 감소함수입니다. 점근선은 $y=8$ 이고, $x$가 커질수록 값이 작아집니다.

경계가 되는 $k$값인 3과 4를 대입해 봅시다.

$f(3)=-3^0+8=7$

$f(4)=-3^1+8=5$

$x\to -8^{+}$ 일 때 $f(x)\to 8$ 에 가까워지므로, $x\in (-8,k]$ 에서의 치역은 $[f(k),8)$ 이 됩니다.

$x>-8$ 구간에서 $f(x)$는 8보다 항상 작으므로 정수 8은 치역에 포함되지 않음에 주의해야 합니다.

step2. $k$ 범위에 따른 정수 조건 추론

이제 $k$의 범위에 따라 집합의 정수 원소를 생각해 봅시다.

$k=3$ 일 때, $x\in (-8,3]$ 에서 치역은 $[7,8)$ 이므로 정수는 7 하나뿐입니다.

$3<k<4$ 일 때, $5<f(k)<7$ 이므로 치역 $[f(k),8)$ 에 속하는 정수는 6, 7 두 개입니다.

$k=4$ 일 때, 치역은 $[5,8)$ 이므로 정수는 5, 6, 7 세 개가 됩니다.

문제에서 정수 개수가 2개가 되는 $k$의 범위가 $3\le k<4$ 라고 했습니다.

만약 $x\le -8$ 구간에서 아무 정수도 가지지 않는다면, $k=3$ 일 때 전체 정수는 7 하나뿐이어서 조건에 맞지 않습니다.

따라서 $x\le -8$ 구간에서 정수 1개를 반드시 가져야 합니다.

$k=3$일 때 정수가 2개가 되려면 $x\le -8$ 구간에서 정수 6을 가져야 합니다. 만약 6이 아닌 다른 정수를 가진다면 $3<k<4$ 일 때 정수가 3개가 되어버립니다.

또한 $x\le -8$ 구간에서 7을 가지면 $k<3$ 일 때도 정수가 6, 7 두 개가 될 수 있으므로, 오직 6 하나만 가져야 합니다.

step3. $a,b$ 계산

$x\le -8$ 일 때 $f(x)=2^{x+a}+b$ 입니다.

이 함수는 증가함수이고 점근선이 $y=b$ 이므로, $x\le -8$ 에서의 치역은 $(b,2^{-8+a}+b]$ 입니다.

이 치역에 속하는 정수가 오직 6 뿐이어야 하므로, 자연수 $b$는 5가 되어야 합니다. (점근선이 5여야 5보다 크고 어떤 값 이하인 범위에 6만 들어갈 수 있습니다.)

$b=5$ 이면 치역은 $(5,2^{-8+a}+5]$ 가 됩니다.

이 범위에 6만 포함되고 7은 포함되지 않아야 하므로,

$6\le 2^{-8+a}+5<7$ 이어야 합니다.

각 변에서 5를 빼면 $1\le 2^{-8+a}<2$ 가 됩니다.

$2^0\le 2^{-8+a}<2^1$ 이므로 지수를 비교하면 $0\le -8+a<1$ 입니다.

따라서 $8\le a<9$ 이고, $a$는 자연수이므로 $a=8$ 입니다.

결과적으로 $a=8,b=5$ 이므로 $a+b=13$ 입니다.

step1. $x>-8$ 구간 분석

$f(x)=-3^{x-3}+8$   --- 감소함수

$f(3)=7,f(4)=5$

--- $x\to -8^{+}$일 때 $f(x)\to 8$이므로

$x\in (-8,k]$에서 치역은 $[f(k),8)$

step2. $k$ 범위에 따른 정수 조건 추론

$k=3$일 때 치역은 $[7,8)$ $\to$ 정수 7

$3<k<4$일 때 치역은 $[f(k),8)$ $\to$ 정수 6, 7

$k=4$일 때 치역은 $[5,8)$ $\to$ 정수 5, 6, 7

--- $3\le k<4$에서 전체 정수 개수가 2개이려면

$x\le -8$ 구간에서 $f(x)$는 오직 정수 6만 가져야 함

step3. $a,b$ 계산

$x\le -8$에서 $f(x)=2^{x+a}+b$   --- 증가함수

치역은 $(b,2^{-8+a}+b]$

--- 이 구간의 정수가 6뿐이어야 하므로

$b=5$   --- 자연수 조건

$6\le 2^{-8+a}+5<7$

$1\le 2^{-8+a}<2$

$0\le -8+a<1$

$\therefore a=8$

$\therefore a+b=13$