(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 9번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 여각 공식을 이용하여 삼각함수를 통일한 뒤, 코사인 함수의 그래프를 그려 대칭성을 활용하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 여각 공식을 이용하여 우변의 $\sin$ 을 $\cos$ 으로 변환합니다.

step2. 코사인 함수의 그래프를 이용하여 부등식의 해를 구합니다.

step3. $α$ 와 $β$ 를 구하고 $β - α$ 를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 여각 공식 : $\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)$

- 코사인 함수의 대칭성 : $0 \leq x \leq 2 π$ 에서 $\cos x = k$ ( $- 1 < k < 1$ ) 의 두 근을 $θ_{1}, θ_{2}$ 라 하면, 그래프가 $x = π$ 에 대해 대칭이므로 $θ_{1} + θ_{2} = 2 π$ 가 성립합니다.

5. 구체적 풀이

부등식의 왼쪽은

\cos

, 오른쪽은

\sin

이네요. 크기를 비교하려면 함수를 하나로 맞춰야겠죠?

\sin

을

\cos

으로 바꾸는 여각 공식을 떠올려보는 것이 첫걸음입니다.

step1. 삼각함수 통일하기

우변의 $\sin \frac{π}{7}$ 을 $\cos$ 으로 바꾸어 봅시다.

여각 공식 $\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)$ 를 적용하면,

$\sin \frac{π}{7} = \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{7})$

괄호 안을 통분해서 계산하면,

$\frac{π}{2} - \frac{π}{7} = \frac{7 π}{14} - \frac{2 π}{14} = \frac{5 π}{14}$ 가 됩니다.

따라서 주어진 부등식은 $\cos x \leq \cos \frac{5 π}{14}$ 로 간단해집니다.

서로 다른 삼각함수가 주어졌을 때는 $\frac{π}{2} - θ$ 공식을 사용하여 하나의 삼각함수로 통일하는 것이 중요합니다.

step2. 부등식의 해 구하기

이제 $0 \leq x \leq 2 π$ 범위에서 $\cos x \leq \cos \frac{5 π}{14}$ 를 풀어볼게요.

먼저 방정식 $\cos x = \cos \frac{5 π}{14}$ 의 해를 찾아야 합니다.

하나의 해는 당연히 $x = \frac{5 π}{14}$ 입니다.

코사인 그래프는 $x = π$ 에 대해 대칭이므로, 다른 하나의 교점은 $2 π - \frac{5 π}{14}$ 가 됨을 놓치기 쉽습니다.

대칭성을 이용해 다른 해를 구하면,

$2 π - \frac{5 π}{14} = \frac{28 π}{14} - \frac{5 π}{14} = \frac{23 π}{14}$ 입니다.

우리가 찾는 것은 $\cos x$ 가 $\cos \frac{5 π}{14}$ 보다 작거나 같은 구간입니다.

코사인 그래프를 머릿속에 그려보면, $x = \frac{5 π}{14}$ 부터 $x = \frac{23 π}{14}$ 까지의 구간에서 그래프가 아래로 볼록하게 내려가 있으므로 이 부등식을 만족합니다.

따라서 해의 범위는 $\frac{5 π}{14} \leq x \leq \frac{23 π}{14}$ 가 됩니다.

step3. $β - α$ 계산하기

step2에서 구한 해의 범위가 $α \leq x \leq β$ 이므로,

$α = \frac{5 π}{14}$ , $β = \frac{23 π}{14}$ 입니다.

이제 문제에서 요구한 $β - α$ 를 계산해 봅시다.

$β - α = \frac{23 π}{14} - \frac{5 π}{14} = \frac{18 π}{14}$

분모와 분자를 2로 약분하면,

$\frac{18 π}{14} = \frac{9 π}{7}$ 이 됩니다.

따라서 정답은 ③번입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 삼각함수 통일

$\sin \frac{π}{7} = \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{7}) = \cos \frac{5 π}{14}$

$∴ \cos x \leq \cos \frac{5 π}{14}$

step2. 부등식의 해 구하기

$0 \leq x \leq 2 π$ 에서 $\cos x = \cos \frac{5 π}{14}$ 의 해는

$x = \frac{5 π}{14}$ 또는 $x = 2 π - \frac{5 π}{14} = \frac{23 π}{14}$ --- 대칭성 이용

$\cos x \leq \cos \frac{5 π}{14}$ 이므로

$\frac{5 π}{14} \leq x \leq \frac{23 π}{14}$

step3. $β - α$ 계산

$α = \frac{5 π}{14}, β = \frac{23 π}{14}$

$β - α = \frac{23 π}{14} - \frac{5 π}{14} = \frac{18 π}{14} = \frac{9}{7} π$

$∴ ③$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

부등식의 양변에 $\cos x$ 와 $\sin \frac{π}{7}$ 처럼 서로 다른 삼각함수가 있어서 직접 비교하기 어려울 수 있습니다.
$\cos x = \cos θ$ 의 해를 구할 때, $0 \leq x \leq 2 π$ 범위에서 대칭성을 이용하여 다른 한 근을 찾는 과정을 잊어버릴 수 있습니다.

🔑 돌파구

여각 공식 $\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)$ 를 이용하여 양변을 같은 삼각함수( $\cos$ )로 통일합니다.
코사인 함수의 그래프가 $x = π$ 에 대해 대칭임을 이용하여, 한 근이 $θ$ 이면 다른 근은 $2 π - θ$ 임을 파악합니다.
(확장 팁: 삼각방정식이나 부등식에서 함수가 다르면 $\frac{π}{2} \pm θ$ 공식을 써서 함수를 통일해보세요.)

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 9번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학 Ⅰ · 삼각함수 / 삼각부등식 / 여각 공식
난이도	중

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구