수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 조건 (가)를 이용하여 $f(x)$ 구하기

먼저 조건 (가)의 식 ${\int }_1^{x}f(t)dt=xf(x)-2x^2-1$의 양변을 $x$에 대하여 미분해 볼게요.

좌변은 $f(x)$가 되고, 우변은 곱의 미분법을 적용하여 미분하면 다음과 같아요.

$f(x)=f(x)+x{f}^{\prime }(x)-4x$

양변에서 $f(x)$를 지우고 정리하면 $x{f}^{\prime }(x)=4x$가 됩니다.

$f(x)$는 다항함수이므로 $f^{\prime }(x)=4$라는 것을 알 수 있어요.

이를 적분하면 $f(x)=4x+C$가 됩니다.

여기서 적분상수 $C$를 구하기 위해 조건 (가)의 식에 $x=1$을 대입하는 것을 잊으면 안 돼요!

$x=1$을 대입하면 좌변은 위끝과 아래끝이 같아져서 $0$이 됩니다.

$0=1·f(1)-2(1{)}^2-1⟹f(1)=3$

우리가 구한 $f(x)=4x+C$에 $x=1$을 대입하면 $4+C=3$이므로 $C=-1$이에요.

따라서 $f(x)=4x-1$이고, 이를 적분한 $F(x)=2x^2-x+C_1$이 됩니다.

step2. 조건 (나)를 적분하여 $F(x)G(x)$ 식 세우기

이제 조건 (나)를 살펴볼게요.

$f(x)G(x)+F(x)g(x)=8x^3+3x^2+1$

좌변의 $f(x)G(x)+F(x)g(x)$는 $F^{\prime }(x)G(x)+F(x)G^{\prime }(x)$와 같으므로, 이는 $\{F(x)G(x){\}}^{\prime }$를 전개한 형태라는 것을 파악하는 것이 이 문제의 키포인트입니다.

즉, $\{F(x)G(x){\}}^{\prime }=8x^3+3x^2+1$이에요.

이 식의 양변을 적분하면 두 함수의 곱을 하나의 다항식으로 표현할 수 있어요.

$F(x)G(x)=2x^4+x^3+x+C_2$

step3. 계수비교법으로 $G(x)$ 추론하기

step1에서 $F(x)=2x^2-x+C_1$임을 구했어요.

$F(x)G(x)$가 최고차항 계수가 2인 4차식이므로, $G(x)$는 최고차항 계수가 1인 2차식이어야만 곱했을 때 $2x^4$이 만들어져요.

따라서 $G(x)=x^2+bx+c$라고 둘 수 있습니다.

이제 두 식을 곱해서 전개해 볼게요.

$(2x^2-x+C_1)(x^2+bx+c)$

$=2x^4+2b{x}^3+2c{x}^2-x^3-b{x}^2-cx+C_1{x}^2+C_{1}bx+C_{1}c$

$=2x^4+(2b-1)x^3+(2c-b+C_1)x^2+(C_{1}b-c)x+C_{1}c$

이 전개한 식이 $2x^4+x^3+0x^2+x+C_2$와 완벽히 같아야 하므로 계수를 하나씩 비교해 줍니다.

$x^3$의 계수: $2b-1=1⟹2b=2⟹b=1$

$x^2$의 계수: $2c-b+C_1=0⟹2c-1+C_1=0⟹C_1=1-2c$

$x$의 계수: $C_{1}b-c=1⟹C_1(1)-c=1⟹C_1-c=1$

이제 $C_1=1-2c$를 $C_1-c=1$에 대입해 볼까요?

$(1-2c)-c=1⟹1-3c=1⟹-3c=0⟹c=0$

$c=0$이므로 $C_1=1$이 되고, 상수항 $C_2=C_{1}c=0$이 됩니다.

따라서 우리가 찾던 $G(x)$는 $x^2+x$입니다.

step4. 정적분 값 계산하기

마지막으로 문제에서 요구한 ${\int }_1^{3}g(x)dx$의 값을 구해봅시다.

$G(x)$는 $g(x)$의 한 부정적분이므로, 정적분의 정의에 따라 다음과 같이 계산할 수 있어요.

${\int }_1^{3}g(x)dx=[G(x){]}_1^3=G(3)-G(1)$

$G(x)=x^2+x$에 각각 3과 1을 대입해 줍니다.

$G(3)=3^2+3=12$

$G(1)=1^2+1=2$

따라서 $12-2=10$이 됩니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 $f(x)$ 구하기

${\int }_1^{x}f(t)dt=xf(x)-2x^2-1$

양변 미분: $f(x)=f(x)+x{f}^{\prime }(x)-4x$

$x{f}^{\prime }(x)=4x⟹f^{\prime }(x)=4⟹f(x)=4x+C$

$x=1$ 대입: $0=f(1)-3⟹f(1)=3$

$4+C=3⟹C=-1⟹f(x)=4x-1$

$F(x)=2x^2-x+C_1$

step2. 조건 (나)를 적분하여 $F(x)G(x)$ 식 세우기

$f(x)G(x)+F(x)g(x)=8x^3+3x^2+1$

$\{F(x)G(x){\}}^{\prime }=8x^3+3x^2+1$

$F(x)G(x)=2x^4+x^3+x+C_2$

step3. 계수비교법으로 $G(x)$ 추론하기

$G(x)=x^2+bx+c$라 하면,

$(2x^2-x+C_1)(x^2+bx+c)=2x^4+x^3+x+C_2$

$x^3$ 계수: $2b-1=1⟹b=1$

$x^2$ 계수: $2c-1+C_1=0⟹C_1=1-2c$

$x$ 계수: $C_1-c=1$

연립하면 $c=0,C_1=1⟹G(x)=x^2+x$

step4. 정적분 값 계산하기

${\int }_1^{3}g(x)dx=[G(x){]}_1^3=G(3)-G(1)$

$=(9+3)-(1+1)=12-2=10$

$\therefore 10$