(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 11번 풀이 해설 [이해용/실전용]

11. 두 점 P와 Q는 시각

t = 0

일 때 각각 점 A(1)과 점 B(8)에서 출발하여 수직선 위를 움직인다. 두 점 P, Q의 시각

t (t \geq 0)

에서의 속도는 각각

v_{1} (t) = 3 t^{2} + 4 t - 7

v_{2} (t) = 2 t + 4

이다. 출발한 시각부터 두 점 P, Q 사이의 거리가 처음으로 4가 될 때까지 점 P가 움직인 거리는? [4점]
① 10 ② 14 ③ 19 ④ 25 ⑤ 32

이 문제는 속도를 적분하여 위치 함수를 구하고, 두 점 사이의 거리가 특정 값이 되는 시각을 찾은 뒤, 속도의 부호 변화를 고려하여 움직인 거리를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

x_{1} (0) = 1

x_{2} (0) = 8

v_{1} (t) = 3 t^{2} + 4 t - 7

v_{2} (t) = 2 t + 4

- 두 점 P, Q 사이의 거리가 처음으로 4가 될 때까지 점 P가 움직인 거리를 구하라.

이 문제는 속도를 적분하여 위치를 구하고, 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 특정 시각을 찾은 뒤, 속도의 부호 변화를 고려하여 실제 움직인 거리를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 속도를 적분하여 두 점 P, Q의 위치 함수를 구합니다.

step2. 두 점 사이의 거리가 4가 되는 시각 $t$ 를 구합니다.

step3. 구한 시각까지 점 P가 움직인 거리를 계산합니다.

- 위치와 속도의 관계 : 시각 $t$ 에서의 위치 $x (t)$ 는 초기 위치 $x (0)$ 에 속도 $v (t)$ 의 정적분을 더하여 구합니다. $x (t) = x (0) + \int_{0}^{t} v (s) d s$

- 움직인 거리 : 시각 $t = a$ 에서 $t = b$ 까지 점이 움직인 실제 거리는 속도의 절댓값을 정적분하여 구합니다. $s = \int_{a}^{b} | v (t) | d t$

속도가 주어졌으니 적분하면 위치를 알 수 있겠구나! 두 점 사이의 거리는 위치의 차이에 절댓값을 씌운 것이니, 거리가 4가 되는 시각을 먼저 찾아야겠다. 그리고 '움직인 거리'를 물어봤으니 속도의 부호가 바뀌는 곳이 있는지 꼭 확인해야지!

step1. 속도를 적분하여 두 점 P, Q의 위치 함수 구하기

점 P의 시각 $t$ 에서의 위치를 $x_{1} (t)$ 라고 하면, $x_{1} (t) = \int (3 t^{2} + 4 t - 7) d t = t^{3} + 2 t^{2} - 7 t + C_{1}$ 입니다.

$t = 0$ 일 때 점 P는 A(1)에 있으므로 $x_{1} (0) = 1$ 이 되어 $C_{1} = 1$ 입니다. 따라서 $x_{1} (t) = t^{3} + 2 t^{2} - 7 t + 1$ 입니다.

마찬가지로 점 Q의 위치를 $x_{2} (t)$ 라고 하면, $x_{2} (t) = \int (2 t + 4) d t = t^{2} + 4 t + C_{2}$ 입니다.

$t = 0$ 일 때 점 Q는 B(8)에 있으므로 $x_{2} (0) = 8$ 이 되어 $C_{2} = 8$ 입니다. 따라서 $x_{2} (t) = t^{2} + 4 t + 8$ 입니다.

step2. 두 점 사이의 거리가 4가 되는 시각 $t$ 구하기

두 점 사이의 거리는 위치의 차이에 절댓값을 씌운 $| x_{1} (t) - x_{2} (t) |$ 입니다.

$x_{1} (t) - x_{2} (t) = (t^{3} + 2 t^{2} - 7 t + 1) - (t^{2} + 4 t + 8) = t^{3} + t^{2} - 11 t - 7$ 입니다.

거리가 4라고 해서 $x_{1} (t) - x_{2} (t) = 4$ 만 풀면 안 됩니다. 절댓값 안의 값이 4 또는 -4가 되는 경우를 모두 확인해야 해요!

첫 번째 경우: $t^{3} + t^{2} - 11 t - 7 = 4$

$t^{3} + t^{2} - 11 t - 11 = 0$

$t^{2} (t + 1) - 11 (t + 1) = 0 \Rightarrow (t^{2} - 11) (t + 1) = 0$

$t \geq 0$ 이므로 $t = \sqrt{11}$ 입니다.

두 번째 경우: $t^{3} + t^{2} - 11 t - 7 = - 4$

$t^{3} + t^{2} - 11 t - 3 = 0$

$t = 3$ 을 대입하면 $27 + 9 - 33 - 3 = 0$ 이 성립하므로 조립제법을 이용하면 $(t - 3) (t^{2} + 4 t + 1) = 0$ 입니다.

$t^{2} + 4 t + 1 = 0$ 의 근은 모두 음수이므로, $t \geq 0$ 인 해는 $t = 3$ 입니다.

'처음으로' 거리가 4가 되는 시각을 찾아야 하므로, $t = \sqrt{11}$ (약 3.3)과 $t = 3$ 중 더 작은 값인 $t = 3$ 이 우리가 찾는 시각입니다.

step3. $t = 0$ 부터 $t = 3$ 까지 점 P가 움직인 거리 계산하기

점 P가 움직인 거리를 구하려면 속도 $v_{1} (t)$ 의 부호가 바뀌는 지점을 찾아야 합니다.

$v_{1} (t) = 3 t^{2} + 4 t - 7 = (3 t + 7) (t - 1)$ 이므로, $t \geq 0$ 에서 속도가 0이 되는 시각은 $t = 1$ 입니다.

$0 \leq t < 1$ 에서는 $v_{1} (t) < 0$ (음의 방향 이동), $1 < t \leq 3$ 에서는 $v_{1} (t) > 0$ (양의 방향 이동)입니다.

따라서 움직인 거리는 $\int_{0}^{3} | v_{1} (t) | d t = \int_{0}^{1} (- v_{1} (t)) d t + \int_{1}^{3} v_{1} (t) d t$ 로 계산할 수 있습니다.

정적분을 직접 계산해도 되지만, 이미 구해둔 위치 함수 $x_{1} (t)$ 를 이용하면 더 쉽습니다.

$x_{1} (0) = 1$

$x_{1} (1) = 1 + 2 - 7 + 1 = - 3$

$x_{1} (3) = 27 + 18 - 21 + 1 = 25$

$0$ 부터 $1$ 까지 움직인 거리: $| x_{1} (1) - x_{1} (0) | = | - 3 - 1 | = 4$

$1$ 부터 $3$ 까지 움직인 거리: $| x_{1} (3) - x_{1} (1) | = | 25 - (- 3) | = 28$

총 움직인 거리는 $4 + 28 = 32$ 입니다.

step1. 위치 함수 구하기

$x_{1} (t) = \int (3 t^{2} + 4 t - 7) d t + 1 = t^{3} + 2 t^{2} - 7 t + 1$

$x_{2} (t) = \int (2 t + 4) d t + 8 = t^{2} + 4 t + 8$

step2. 거리가 4가 되는 시각 구하기

$| x_{1} (t) - x_{2} (t) | = | t^{3} + t^{2} - 11 t - 7 | = 4$

$t^{3} + t^{2} - 11 t - 7 = 4 \Rightarrow t^{3} + t^{2} - 11 t - 11 = 0 \Rightarrow (t^{2} - 11) (t + 1) = 0 \Rightarrow t = \sqrt{11}$

$t^{3} + t^{2} - 11 t - 7 = - 4 \Rightarrow t^{3} + t^{2} - 11 t - 3 = 0 \Rightarrow (t - 3) (t^{2} + 4 t + 1) = 0 \Rightarrow t = 3$

--- 처음으로 거리가 4가 되는 시각이므로 $t = 3$

step3. 점 P가 움직인 거리 계산

$v_{1} (t) = (3 t + 7) (t - 1) = 0 \Rightarrow t = 1$

$x_{1} (0) = 1, x_{1} (1) = - 3, x_{1} (3) = 25$

이동 거리 $= | x_{1} (1) - x_{1} (0) | + | x_{1} (3) - x_{1} (1) | = | - 4 | + | 28 | = 32$

$∴ 32$

🔒 막힌 이유

두 점 사이의 거리를 구할 때 절댓값을 씌우지 않고 $x_{1} (t) - x_{2} (t) = 4$ 만 풀어서 $t = \sqrt{11}$ 을 처음 시각으로 잘못 찾을 수 있습니다.
점 P가 움직인 거리를 구할 때, 속도의 부호가 바뀌는 지점( $t = 1$ )을 고려하지 않고 단순히 위치의 변화량 $| x_{1} (3) - x_{1} (0) |$ 을 계산하여 24를 답으로 낼 수 있습니다.

🔑 돌파구

두 점 사이의 거리는 위치의 차이에 절댓값을 씌운 $| x_{1} (t) - x_{2} (t) |$ 임을 명심하고, $\pm 4$ 가 되는 경우를 모두 구해 가장 작은 양수 $t$ 를 찾아야 합니다.
'움직인 거리'는 속도의 절댓값을 적분한 것이므로, 속도가 0이 되는 시각을 찾아 구간을 나누어 정적분하거나 위치의 변화량을 각각 구해서 더해야 합니다.
거리와 위치의 변화량은 다르다는 점을 항상 기억하세요!

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 11번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅱ · 속도와 거리 / 정적분의 활용
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구