(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 21번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 등차수열의 합 공식을 이용하여 $a$ 와 $d$ 의 관계식을 찾고, 자연수 조건과 배수 조건을 이용해 미지수를 결정하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 등차수열의 첫째항을 $a$ , 공차를 $d$ 라 두고 $S_{k}$ 를 식으로 나타냅니다.

step2. $\sum_{k = 1}^{7} S_{k} = 644$ 를 이용하여 $a$ 와 $d$ 에 대한 관계식을 구합니다.

step3. '모든 항이 자연수'라는 조건에서 $d$ 의 범위를 찾습니다.

step4. $a_{7}$ 이 13의 배수라는 조건을 이용하여 $d$ 의 값을 확정하고 $a_{2}$ 를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 등차수열의 합 공식 : 첫째항이 $a$ , 공차가 $d$ 인 등차수열의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합 $S_{n} = \frac{n {2 a + (n - 1) d}}{2}$ 입니다.

- 자연수의 거듭제곱의 합 (시그마 공식) : $\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$ , $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ 입니다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 수열의 합의 합을 구해야 하므로 복잡해 보일 수 있지만, 결국 첫째항

a

와 공차

d

두 개의 미지수만 찾으면 됩니다.

\sum_{k = 1}^{7} S_{k} = 644

라는 식을 정리하면

a

와

d

에 대한 하나의 식이 나오고, '자연수' 조건과 '13의 배수' 조건을 통해 남은 퍼즐을 맞출 수 있어요.

step1. $S_{k}$ 를 $a$ 와 $d$ 로 나타내기

등차수열의 첫째항을 $a$ , 공차를 $d$ 라고 합시다.

모든 항이 자연수이려면 첫째항 $a$ 는 자연수( $a \geq 1$ )여야 하고, 공차 $d$ 는 $0$ 이상의 정수( $d \geq 0$ )여야 합니다.

제 $k$ 항까지의 합 $S_{k}$ 는 공식에 의해 다음과 같이 정리할 수 있어요.

$S_{k} = \frac{k {2 a + (k - 1) d}}{2} = a k + \frac{d}{2} (k^{2} - k)$

step2. $\sum_{k = 1}^{7} S_{k} = 644$ 를 이용하여 관계식 구하기

이제 주어진 조건 $\sum_{k = 1}^{7} S_{k} = 644$ 에 $S_{k}$ 를 대입해 봅시다.

$\sum_{k = 1}^{7} {a k + \frac{d}{2} (k^{2} - k)} = a \sum_{k = 1}^{7} k + \frac{d}{2} \sum_{k = 1}^{7} (k^{2} - k)$

여기서 시그마 공식을 사용하면,

$\sum_{k = 1}^{7} k = \frac{7 \times 8}{2} = 28$

$\sum_{k = 1}^{7} k^{2} = \frac{7 \times 8 \times 15}{6} = 140$

따라서 $\sum_{k = 1}^{7} (k^{2} - k) = 140 - 28 = 112$ 가 됩니다.

이를 원래 식에 대입하면,

$28 a + \frac{d}{2} \times 112 = 28 a + 56 d = 644$

양변을 28로 나누면 아주 간단한 관계식을 얻을 수 있습니다.

$a + 2 d = 23$

step3. 자연수 조건을 이용하여 $d$ 의 범위 찾기

우리가 구한 $a + 2 d = 23$ 에서 $a = 23 - 2 d$ 로 나타낼 수 있습니다.

여기서 '모든 항이 자연수'라는 조건을 놓치기 쉽습니다.

첫째항 $a$ 가 자연수이므로 $a \geq 1$ 이어야 해요.

$23 - 2 d \geq 1$

$2 d \leq 22$

$d \leq 11$

또한 $d \geq 0$ 이므로, 가능한 $d$ 는 $0$ 부터 $11$ 까지의 정수입니다.

step4. 13의 배수 조건을 이용하여 $d$ 확정 및 $a_{2}$ 구하기

이제 마지막 조건인 ' $a_{7}$ 이 13의 배수'를 사용할 차례입니다.

$a_{7} = a + 6 d$ 인데, 앞서 구한 $a = 23 - 2 d$ 를 대입해 봅시다.

$a_{7} = (23 - 2 d) + 6 d = 23 + 4 d$

$d$ 는 $0$ 부터 $11$ 까지의 정수이므로, 하나씩 대입하여 $23 + 4 d$ 가 13의 배수가 되는지 확인해 봅니다.

- $d = 0$ 일 때: $23$ (X)

- $d = 1$ 일 때: $27$ (X)

- $d = 2$ 일 때: $31$ (X)

- $d = 3$ 일 때: $35$ (X)

- $d = 4$ 일 때: $23 + 16 = 39 = 13 \times 3$ (O)

$d = 4$ 일 때 39가 되어 13의 배수가 됩니다! (이후 $d = 11$ 까지 확인해봐도 13의 배수는 나오지 않아요.)

따라서 공차 $d = 4$ 이고, 첫째항 $a = 23 - 2 (4) = 15$ 입니다.

우리가 구하고자 하는 값은 제2항 $a_{2}$ 이므로,

$a_{2} = a + d = 15 + 4 = 19$ 가 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. $S_{k}$ 를 $a$ 와 $d$ 로 나타내기

$S_{k} = \frac{k (2 a + (k - 1) d)}{2} = a k + \frac{d}{2} (k^{2} - k)$

step2. $\sum_{k = 1}^{7} S_{k} = 644$ 를 이용하여 관계식 구하기

$\sum_{k = 1}^{7} S_{k} = a \sum_{k = 1}^{7} k + \frac{d}{2} \sum_{k = 1}^{7} (k^{2} - k)$

--- $\sum k = 28, \sum k^{2} = 140$ 이므로

$= 28 a + \frac{d}{2} (140 - 28) = 28 a + 56 d = 644$

$∴ a + 2 d = 23$

step3. 자연수 조건을 이용하여 $d$ 의 범위 찾기

$a = 23 - 2 d \geq 1$ --- 모든 항이 자연수이므로

$∴ 0 \leq d \leq 11$ --- $d$ 는 정수

step4. 13의 배수 조건을 이용하여 $d$ 확정 및 $a_{2}$ 구하기

$a_{7} = a + 6 d = (23 - 2 d) + 6 d = 23 + 4 d$

$23 + 4 d$ 가 13의 배수이고 $0 \leq d \leq 11$ 이므로

$d = 4$ 일 때 $a_{7} = 39 = 13 \times 3$ 으로 성립.

$∴ a = 15, d = 4$

$a_{2} = a + d = 15 + 4 = 19$

$∴ 19$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$\sum_{k = 1}^{7} S_{k}$ 를 계산할 때, $S_{k}$ 를 $a$ 와 $d$ 의 식으로 나타내어 시그마를 적용하는 과정에서 계산 실수가 발생하거나 접근법을 떠올리지 못할 수 있습니다.
$a + 2 d = 23$ 을 구한 후, 미지수가 2개인데 식이 1개라 당황하고, '모든 항이 자연수'라는 조건을 부등식으로 연결하지 못해 $d$ 의 범위를 좁히지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

$S_{k} = a k + \frac{d}{2} (k^{2} - k)$ 로 두고 시그마를 분배하여 $a$ 와 $d$ 에 대한 일차방정식을 이끌어냅니다.
$a = 23 - 2 d$ 로 정리한 뒤, 첫째항 $a$ 가 자연수( $a \geq 1$ )라는 조건을 이용해 $d$ 의 범위를 제한하고, 하나씩 대입하여 13의 배수 조건을 만족하는 $d$ 를 찾습니다.
(팁: 미지수가 식보다 많은 경우, 정수나 자연수 조건이 숨어있는지 확인하고 범위를 좁혀 대입해 보세요!)

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 21번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 등차수열 / 수열의 합 / 부정방정식
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구