(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 시그마( $\sum$ )의 성질을 이용하여 주어진 식들을 적절히 더하거나 빼서 원하는 식의 형태를 만드는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 구하고자 하는 식과 주어진 식의 관계를 파악합니다.

step2. 시그마의 성질을 이용하여 식을 분리하고 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 시그마의 성질 : $\sum_{k = 1}^{n} (A_{k} \pm B_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} A_{k} \pm \sum_{k = 1}^{n} B_{k}$ (단, 복호동순)

5. 구체적 풀이

구해야 하는 식은

a_{k} - b_{k}

이고, 주어진 식은

2 a_{k} - b_{k}

와

a_{k}

입니다.

(2 a_{k} - b_{k}) - a_{k} = a_{k} - b_{k}

라는 점을 눈치채면 아주 쉽게 풀 수 있어요!

step1. 구하고자 하는 식의 형태 만들기

우리가 구해야 하는 값은 $\sum_{k = 1}^{10} (a_{k} - b_{k})$ 입니다. 주어진 두 식의 일반항을 살펴보면, $(2 a_{k} - b_{k})$ 에서 $a_{k}$ 를 빼면 우리가 원하는 $(a_{k} - b_{k})$ 가 된다는 것을 알 수 있어요. 즉, $(2 a_{k} - b_{k}) - a_{k} = a_{k} - b_{k}$ 라는 관계를 이용하는 것이 이 문제의 키포인트입니다.

step2. 시그마의 성질을 적용하여 계산하기

이제 시그마의 성질을 적용해 볼까요? 시그마는 덧셈과 뺄셈에 대해 각각 분리해서 쓸 수 있어요. 따라서 다음과 같이 식을 변형할 수 있습니다.

$\sum_{k = 1}^{10} (a_{k} - b_{k}) = \sum_{k = 1}^{10} {(2 a_{k} - b_{k}) - a_{k}}$

$= \sum_{k = 1}^{10} (2 a_{k} - b_{k}) - \sum_{k = 1}^{10} a_{k}$

문제에서 $\sum_{k = 1}^{10} (2 a_{k} - b_{k}) = 34$ 이고, $\sum_{k = 1}^{10} a_{k} = 10$ 이라고 주어졌으므로, 이 값들을 그대로 대입만 하면 됩니다.

이때, $\sum_{k = 1}^{10} b_{k}$ 의 값을 따로 구해서 대입해도 되지만, 부호 계산에서 실수할 수 있으므로 식 전체를 통째로 빼는 방법이 훨씬 안전하고 빠릅니다.

계산하면 $34 - 10 = 24$ 가 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 구하고자 하는 식의 형태 만들기

$(a_{k} - b_{k}) = (2 a_{k} - b_{k}) - a_{k}$

step2. 시그마의 성질을 적용하여 계산하기

$\sum_{k = 1}^{10} (a_{k} - b_{k}) = \sum_{k = 1}^{10} {(2 a_{k} - b_{k}) - a_{k}}$

$= \sum_{k = 1}^{10} (2 a_{k} - b_{k}) - \sum_{k = 1}^{10} a_{k}$ --- 시그마의 성질 이용

$= 34 - 10$

$= 24$

$∴ 24$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

시그마 기호 안의 식을 어떻게 분리하고 결합해야 할지 몰라서 막힐 수 있습니다.
$\sum_{k = 1}^{10} b_{k}$ 의 값을 따로 구하려고 하다가 부호 계산에서 실수를 할 수 있습니다.

🔑 돌파구

구하고자 하는 식 $a_{k} - b_{k}$ 가 주어진 식 $(2 a_{k} - b_{k})$ 와 $a_{k}$ 의 차이임을 관찰하여 식을 통째로 변형합니다.
시그마의 성질을 이용하여 주어진 식들을 더하거나 빼서 원하는 형태를 바로 만들어내는 연습을 해보세요.

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학 Ⅰ · 수열 / 시그마의 성질
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구