(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]

20. 그림과 같이

\overset{―}{A B} = 2, \overset{―}{A D} = 1, ∠ D A B = \frac{2}{3} π, ∠ B C D = \frac{3}{4} π

인 사각형

A B C D

가 있다. 삼각형

B C D

의 외접원의 반지름의 길이를

R_{1}

, 삼각형

A B D

의 외접원의 반지름의 길이를

R_{2}

라 하자. 다음은

R_{1} \times R_{2}

의 값을 구하는 과정이다. 삼각형

B C D

에서 사인법칙에 의하여

R_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \overset{―}{B D}

이고, 삼각형

A B D

에서 사인법칙에 의하여

R_{2} = (가) \times \overset{―}{B D}

이다. 삼각형

A B D

에서 코사인법칙에 의하여

{\overset{―}{B D}}^{2} = 2^{2} + 1^{2} - (나)

이므로

R_{1} \times R_{2} = (다)

이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각

p, q, r

이라 할 때,

9 \times (p \times q \times r)^{2}

의 값을 구하시오. [4점]

이 문제는 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 삼각형의 외접원 반지름과 변의 길이를 구하는 과정을 논리적으로 따라갈 수 있는지를 묻는 문제입니다.

\overset{―}{A B} = 2

\overset{―}{A D} = 1

∠ D A B = \frac{2}{3} π

∠ B C D = \frac{3}{4} π

△ B C D

의 외접원의 반지름:

R_{1}

△ A B D

의 외접원의 반지름:

R_{2}

R_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \overset{―}{B D}

R_{2} = (가) \times \overset{―}{B D}

{\overset{―}{B D}}^{2} = 2^{2} + 1^{2} - (나)

R_{1} \times R_{2} = (다)

p = (가), q = (나), r = (다)

이 문제는 문제에서 제시된 흐름(사인법칙 $\to$ 코사인법칙 $\to$ 대입)을 그대로 따라가며 각 빈칸에 알맞은 값을 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. $△ A B D$ 에서 사인법칙을 이용하여 (가)를 구합니다.

step2. $△ A B D$ 에서 코사인법칙을 이용하여 (나)를 구합니다.

step3. 앞서 구한 식들을 곱하여 (다)를 구합니다.

step4. 구한 $p, q, r$ 값을 대입하여 최종 식의 값을 계산합니다.

- 사인법칙 : $△ A B C$ 의 외접원의 반지름을 $R$ 이라 할 때, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$ 이 성립합니다.

- 코사인법칙 : $△ A B C$ 에서 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ 가 성립합니다.

빈칸 추론 문제는 앞뒤 문맥이 가장 큰 힌트예요. (가)는

△ A B D

에서의 사인법칙, (나)는

△ A B D

에서의 코사인법칙을 직접 적용하면 바로 구할 수 있습니다. 문제에서 하라는 대로 차근차근 공식을 적용해 볼까요?

step1. (가) 구하기

먼저 $△ A B D$ 에서 사인법칙을 적용해 볼게요. $△ A B D$ 의 외접원의 반지름이 $R_{2}$ 이므로,

$\frac{\overset{―}{B D}}{\sin (∠ D A B)} = 2 R_{2}$ 가 성립해요.

문제에서 $∠ D A B = \frac{2}{3} π$ 라고 주어졌으니 대입해 보면,

$\frac{\overset{―}{B D}}{\sin (\frac{2}{3} π)} = 2 R_{2}$ 가 됩니다.

$\sin (\frac{2}{3} π) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 이므로,

$\frac{\overset{―}{B D}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 R_{2} ⟹ \frac{2}{\sqrt{3}} \overset{―}{B D} = 2 R_{2}$ 가 되죠.

양변을 2로 나누면 $R_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \overset{―}{B D} = \frac{\sqrt{3}}{3} \overset{―}{B D}$ 가 됩니다.

따라서 (가)에 들어갈 알맞은 수는 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 이고, $p = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 입니다.

step2. (나) 구하기

이번에는 $△ A B D$ 에서 코사인법칙을 적용해 봅시다.

${\overset{―}{B D}}^{2} = {\overset{―}{A B}}^{2} + {\overset{―}{A D}}^{2} - 2 \cdot \overset{―}{A B} \cdot \overset{―}{A D} \cdot \cos (∠ D A B)$ 가 성립하죠.

주어진 길이 $\overset{―}{A B} = 2, \overset{―}{A D} = 1$ 과 각도 $∠ D A B = \frac{2}{3} π$ 를 대입하면,

${\overset{―}{B D}}^{2} = 2^{2} + 1^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos (\frac{2}{3} π)$ 가 됩니다.

이 식을 문제에 주어진 형태인 ${\overset{―}{B D}}^{2} = 2^{2} + 1^{2} - (나)$ 와 비교해 보세요.

여기서 부호를 조심해야 해요. $- (나)$ 부분이 $- 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos (\frac{2}{3} π)$ 와 같으므로, $(나) = 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos (\frac{2}{3} π)$ 가 됩니다.

$\cos (\frac{2}{3} π) = - \frac{1}{2}$ 이므로 계산해 보면,

$(나) = 4 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 2$ 가 됩니다.

따라서 $q = - 2$ 입니다.

step3. (다) 구하기

이제 $R_{1} \times R_{2}$ 를 구해볼 차례예요.

먼저 step2에서 구한 식을 마저 계산해서 ${\overset{―}{B D}}^{2}$ 의 값을 구해둘게요.

${\overset{―}{B D}}^{2} = 2^{2} + 1^{2} - (- 2) = 4 + 1 + 2 = 7$ 입니다.

문제에서 $R_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \overset{―}{B D}$ 라고 했고, step1에서 $R_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \overset{―}{B D}$ 라고 구했죠?

두 식을 곱해보면,

$R_{1} \times R_{2} = (\frac{\sqrt{2}}{2} \overset{―}{B D}) \times (\frac{\sqrt{3}}{3} \overset{―}{B D}) = \frac{\sqrt{6}}{6} {\overset{―}{B D}}^{2}$ 이 됩니다.

여기에 방금 구한 ${\overset{―}{B D}}^{2} = 7$ 을 대입하면,

$R_{1} \times R_{2} = \frac{\sqrt{6}}{6} \times 7 = \frac{7 \sqrt{6}}{6}$ 이 됩니다.

따라서 $(다) = \frac{7 \sqrt{6}}{6}$ 이고, $r = \frac{7 \sqrt{6}}{6}$ 입니다.

step4. 최종 정답 계산하기

마지막으로 우리가 구해야 할 값은 $9 \times (p \times q \times r)^{2}$ 입니다.

먼저 괄호 안의 $p \times q \times r$ 부터 계산해 볼게요.

$p \times q \times r = \frac{\sqrt{3}}{3} \times (- 2) \times \frac{7 \sqrt{6}}{6}$

$= - \frac{14 \sqrt{18}}{18}$

$\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ 이므로,

$= - \frac{14 \cdot 3 \sqrt{2}}{18} = - \frac{42 \sqrt{2}}{18} = - \frac{7 \sqrt{2}}{3}$ 이 됩니다.

이제 이 값을 제곱해 줍니다.

$(p \times q \times r)^{2} = (- \frac{7 \sqrt{2}}{3})^{2} = \frac{49 \cdot 2}{9} = \frac{98}{9}$

마지막으로 9를 곱해주면,

$9 \times \frac{98}{9} = 98$ 이 됩니다.

따라서 최종 정답은 98입니다.

step1. (가) 구하기

$△ A B D$ 에서 사인법칙에 의해

$\frac{\overset{―}{B D}}{\sin (\frac{2}{3} π)} = 2 R_{2}$

$R_{2} = \frac{1}{2 \sin (\frac{2}{3} π)} \overset{―}{B D} = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \overset{―}{B D} = \frac{\sqrt{3}}{3} \overset{―}{B D}$

$∴ p = \frac{\sqrt{3}}{3}$

step2. (나) 구하기

$△ A B D$ 에서 코사인법칙에 의해

${\overset{―}{B D}}^{2} = 2^{2} + 1^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos (\frac{2}{3} π)$

문제의 식 ${\overset{―}{B D}}^{2} = 2^{2} + 1^{2} - (나)$ 와 비교하면

$q = 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos (\frac{2}{3} π) = 4 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 2$

step3. (다) 구하기

${\overset{―}{B D}}^{2} = 4 + 1 - (- 2) = 7$

$R_{1} \times R_{2} = (\frac{\sqrt{2}}{2} \overset{―}{B D}) \times (\frac{\sqrt{3}}{3} \overset{―}{B D}) = \frac{\sqrt{6}}{6} {\overset{―}{B D}}^{2}$

$r = \frac{\sqrt{6}}{6} \times 7 = \frac{7 \sqrt{6}}{6}$

step4. 최종 정답 계산하기

$p \times q \times r = \frac{\sqrt{3}}{3} \times (- 2) \times \frac{7 \sqrt{6}}{6} = - \frac{14 \sqrt{18}}{18} = - \frac{7 \sqrt{2}}{3}$

$9 \times (p \times q \times r)^{2} = 9 \times (- \frac{7 \sqrt{2}}{3})^{2} = 9 \times \frac{98}{9} = 98$

$∴ 98$

🔒 막힌 이유

코사인법칙을 적용할 때, 문제의 수식 형태인 $2^{2} + 1^{2} - (나)$ 와 공식 $b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ 를 비교하는 과정에서 부호를 헷갈려 (나)를 양수로 잘못 구할 수 있어요.
$R_{1} \times R_{2}$ 를 구할 때, $\overset{―}{B D}$ 의 값을 직접 구하려고 하다가 무리수 계산이 복잡해져서 실수를 할 수 있어요.

🔑 돌파구

코사인법칙 공식의 $- 2 b c \cos A$ 부분 전체가 $- (나)$ 에 해당함을 명확히 인지하고, $\cos (\frac{2}{3} π)$ 가 음수임을 주의하여 계산해야 해요.
$R_{1} \times R_{2}$ 식을 먼저 곱해서 정리하면 ${\overset{―}{B D}}^{2}$ 형태가 나오므로, $\overset{―}{B D}$ 를 굳이 구하지 않고 앞서 구한 ${\overset{―}{B D}}^{2}$ 값을 그대로 대입하는 것이 훨씬 효율적이에요.
빈칸 추론 문제는 앞뒤 문맥의 수식 형태를 정확히 맞추는 것이 핵심입니다.

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 20번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 삼각함수의 활용 / 사인법칙 / 코사인법칙 / 빈칸 추론
난이도	중

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구