수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 도함수 $f^{\prime }(x)$ 구하기

먼저 주어진 함수 $f(x)=(x^2+1)(x^2+ax+3)$를 미분해 볼게요.

두 식의 곱으로 되어 있으니 곱의 미분법을 적용합니다.

곱의 미분법: $(f(x)g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

$f^{\prime }(x)=(x^2+1{)}^{\prime }(x^2+ax+3)+(x^2+1)(x^2+ax+3{)}^{\prime }$

여기서 앞의 식과 뒤의 식을 각각 미분하면,

$(x^2+1{)}^{\prime }=2x$

$(x^2+ax+3{)}^{\prime }=2x+a$

이것을 원래 식에 대입하면,

$f^{\prime }(x)=2x(x^2+ax+3)+(x^2+1)(2x+a)$ 가 됩니다.

곱의 미분법을 적용할 때, 한쪽만 미분하고 다른 쪽은 그대로 두는 것을 잊지 않도록 주의해야 해요.

step2. $f^{\prime }(1)$ 계산하기

이제 구한 도함수 식에 $x=1$을 대입해 볼까요?

$f^{\prime }(1)=2(1)(1^2+a·1+3)+(1^2+1)(2·1+a)$

$f^{\prime }(1)=2(a+4)+2(a+2)$

괄호를 풀고 식을 정리해 줍니다.

$f^{\prime }(1)=2a+8+2a+4=4a+12$

step3. 상수 $a$ 구하기

문제에서 $f^{\prime }(1)=32$라고 주어졌어요.

따라서 우리가 구한 식과 같다고 놓으면 일차방정식이 만들어집니다.

$4a+12=32$

$4a=20$

양변을 4로 나누면,

$a=5$

이렇게 해서 상수 $a$의 값을 구했습니다.

step1. 도함수 $f^{\prime }(x)$ 구하기

$f^{\prime }(x)=(x^2+1{)}^{\prime }(x^2+ax+3)+(x^2+1)(x^2+ax+3{)}^{\prime }$

$f^{\prime }(x)=2x(x^2+ax+3)+(x^2+1)(2x+a)$

step2. $f^{\prime }(1)$ 계산하기

$f^{\prime }(1)=2(1+a+3)+2(2+a)$

$f^{\prime }(1)=2a+8+2a+4=4a+12$

step3. 상수 $a$ 구하기

--- $f^{\prime }(1)=32$ 이므로

$4a+12=32$

$4a=20$

$\therefore a=5$