수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $\theta$의 사분면과 $\tan \theta$의 부호 결정

문제에서 $\frac{3}{2}\pi <\theta <2\pi$라고 주어졌어요. 이는 $\theta$가 제4사분면의 각이라는 뜻이죠. 제4사분면에서는 '올사탄코' 규칙에 의해 $\cos$만 양수이고, $\sin$과 $\tan$는 음수가 됩니다. 따라서 우리가 구하려는 $\tan \theta$의 값은 음수여야 해요. 여기서 부호를 미리 결정해두지 않으면 나중에 양수로 답을 적는 실수를 하기 쉬우니 꼭 먼저 체크해두세요!

step2. 직각삼각형을 이용한 $\tan \theta$의 절댓값 계산

이제 부호는 잠시 잊고, $\cos \theta =\frac{\sqrt{6}}{3}$이라는 값의 크기에만 집중해볼게요. 빗변의 길이가 $3$이고 밑변의 길이가 $\sqrt{6}$인 직각삼각형을 상상해 보세요. 피타고라스의 정리를 이용하면 높이를 구할 수 있어요.

$(\text{높이}{)}^2+(\sqrt{6}{)}^2=3^2$

$(\text{높이}{)}^2+6=9$

$(\text{높이}{)}^2=3$

따라서 높이는 $\sqrt{3}$이 됩니다.

이 직각삼각형에서 $\tan$ 값의 크기(절댓값)는 $\frac{\text{높이}}{\text{밑변}}$이므로, $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$가 됩니다.

step3. 최종 $\tan \theta$ 값 도출

step1에서 $\tan \theta$는 음수라고 결정했고, step2에서 그 절댓값이 $\frac{\sqrt{2}}{2}$임을 구했어요. 이 두 가지를 합치면 최종적으로 $\tan \theta =-\frac{\sqrt{2}}{2}$가 됩니다. 따라서 정답은 ②번이에요.

step1. $\theta$의 사분면과 $\tan \theta$의 부호 결정

$\frac{3}{2}\pi <\theta <2\pi$   --- $\theta$는 제4사분면의 각

$\therefore \tan \theta <0$

step2. 직각삼각형을 이용한 $\tan \theta$의 절댓값 계산

$\cos \theta =\frac{\sqrt{6}}{3}$   --- 빗변 $3$, 밑변 $\sqrt{6}$인 직각삼각형

$\text{높이}=\sqrt{3^2-(\sqrt{6}{)}^2}=\sqrt{3}$

$|\tan \theta |=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

step3. 최종 $\tan \theta$ 값 도출

$\therefore \tan \theta =-\frac{\sqrt{2}}{2}$